Dati n interi positivi...

[giapippa]

Si dimostri che dati comunque n interi positivi $ a_1,a_2,a_n $ è
sempre possibile sceglierne alcuni (eventualmente tutti od
uno solo) in modo che la loro somma sia divisibileper $ n $

Ho iniziato a ragionare sul fatto che ogni numero diviso per n può dare resto da 0 a n-1....ora non posso dire semplicemente per il "principio della piccionaia" (forse male applicato) che riesco a ottenere n sommando i resti? (che poi ottenere n sommando i resti è un po' come dimostrare la stessa tesi con altri n numeri praticamente)
Temo di non poterci arrivare con le mie semplici nozioni di TdN,modulare ecc...

[Robertopphneimer]

Si dimostri che dati comunque n interi positivi $ a_1,a_2,a_n $ è
sempre possibile sceglierne alcuni (eventualmente tutti od
uno solo) in modo che la loro somma sia divisibile per $ n $

Ho iniziato a ragionare sul fatto che ogni numero diviso per n può dare resto da 0 a n-1....ora non posso dire semplicemente per il "principio della piccionaia" (forse male applicato) che riesco a ottenere n sommando i resti? (che poi ottenere n sommando i resti è un po' come dimostrare la stessa tesi con altri n numeri praticamente)
Temo di non poterci arrivare con le mie semplici nozioni di TdN,modulare ecc...

Ma guarda che l'idea non è malvagia...però io proverei partendo da un caso semplice:

$ a+(a+1)+(a+2)=\frac{n}{3} $ e questo si risolve : $ 3a+3=\frac{n}{3} $ poi prova per induzione :

$ \frac{n+a+4}{4}= 3a+3+n+1=3a+n+\frac{a+4}{4} $
è ovvio che ce n'è + di uno multiplo di 4

spero ci sia qualcosa di corretto e sia corretta l'induzione. è tanto che non la faccio.

[Drago96]

1) Questo problema è giá stato postato e risolto, e recentemente uppato
2) Robertoppheneimer, gli interi non sono per forza consecutivi... (se ho ben capito quello che vuoi fare)
3) Giapippa il tuo ragionamento va bene per una differenza... Quindi sarebbe furbo trovare qualcosa che unisce somma e differenza...

[giapippa]

si pure io all'inizio avevo provato con i numeri consecutivi però non basta....mo ci penso un po' mhm

[giapippa]

forse ho trovato :

parto con 5 interi $ a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 $
dunque li ordino $ a_1>a_2>a_3>a_4>a_5 $ per cui $ a_1-a_2 >1+n , a_2-a_3>1+m $ ecc se sostituisco dovrei ottenere "almeno" $ 5*a_1-10-n-m-p-q $ ... (dove n+1,m+1 ecc sono le differenze)

Non so se mi sono spiegato bene :S


p.s non so come scrivere maggioreuguale

[Drago96]

Uhm, cosa sono $p,q$?
E come potrebbe aiutarti minimizzare la somma?

P.S: \ge $\ge$ e \le $\le$

[giapippa]

volevo dire a1 è maggiore di a2+1+m (con m che può valere anche 0), a sua volta a2 è maggiore uguale di a3+1+n (che può valere pure 0 ecc)
quindi la loro somma dovrebbe essere maggiore o uguale a 5a1+5 però mi sa che non arrivo ad una conclusione... cmq cosa vuol dire quel poscritto?

EDIT ah ok maggiore uguale e minore uguale, thx

[giapippa]

ho trovato come applicare il principio della piccionaia :
se ho n numeri allora ho una disposizione di n su n resti con disposizione (non so scriverlo in tex), ovvero n^2 resti per cui per il principio della piccionaia deve esserci almeno una somma di resti che sia divisibile per n....giusto? (forse ho mancato qualcosa alla fine)

[Drago96]

ovvero n^2 resti

Hai sbagliato qua: modulo n hai al più n elementi distinti...

[giapippa]

Appunto n distinti ma n^2 resti in totale....sono un po' frettoloso ma penso di esserci quasi

[giapippa]

come dimostro che dato un numero n è sempre possibile formare lo stesso numero o un suo multiplo con n cifre da 0 a n-1?

[jordan]

come dimostro che dato un numero n è sempre possibile formare lo stesso numero o un suo multiplo con n cifre da 0 a n-1?

"Con n cifre" non ha molto senso.

Se intendevi invece nell'insieme {0,1,2,...,n-1} ti basta sbegliere 1 e n-1 (o , ancora piu' semplicemente, 0).

[giapippa]

no io intendevo avendo un numero $ n $di cifre appartenenti a tale insieme....però alla fine dimostrare questo è un ritorno alla tesi iniziale ( es: comunque scelgo 5 cifre da 0 a 4 non per forza diverse posso sempre formare un multiplo di 5 scegliendole opportunamente)

[jordan]

Resto della convinzione che non hai molto chiaro il concetto di "cifra"..

[giapippa]

mi sono confuso intendevo dire numeri anche sta volta :S
ad ogni modo qualcuno sa risolverlo?