Una diofantea in x^2,y^2,z^2

[jordan]

Trovare tutte le terne di interi x,y,z tali che $5x^2=11y^2+14z^2$

(Dalle Nazionali di qualche paese dell'Est, 2000)

[Robertopphneimer]

Vorrei postare il mio ragionamento anche se non so essere giusto,prendo al volo il tuo consiglio sull'importanza del procedimento.

$ 14 z^2= 5 x^2- 11 y^2= (5x \pm 11y)(x \mp y) \pm 7xy $

perciò $ 14|(5x \pm 11y)(x \mp y) $
e $ 2|7xy $

da cui ho impostato vari sistemi( per i casi $ x \mp > (5x \pm 11y) $ e contrario, provando con 14*1 e 7*2) ma non viene nulla d'intero nelle soluzioni.
Ora come ora mi viene in mente che c'è un $ z^2 $ che cambia le cose(solitamente questo metodo l'ho usato per due elementi uguali ad un numero)
dovrei provare una strada con $ mod 4 $??(spero di averne capito abbastanza di queste equazioni).

[nic.h.97]

mi viene in mente solo che y dev'essere diverso da
10n+0
10n+3
10n+2
10n+4
10n+6
10n+8

e che nel caso y è uguale a 10n+1 allora z dev'essere uguale a 10m+6 o 10m+1, poi bisogna sistemare gli n e gli m in modo che siano uguali a 5*un quadrato.

quando y è 10n+5 , z dev'essere 10m+5 o 10m+0.
quando y è 10n+7, z dev'essere o 10m+2 o 10m+3 .
quando y è 10n+9 , z dev'essere o 10m+2 o 10m+6.

edit.
mi sn accorto di aver parzialmente sbagliato , tutto questo è valido se l'unita' di$ x^2 $ non è pari.

[auron95]

Io ho trovato che devono essere tutte con la stessa parità. Infatti x e y hanno la stessa parità, quindi i quadrati sono congrui a modulo quattro.
Allora
$5x^2-11y^2\equiv-6x^2\equiv 14z^2 \pmod4$ quindi anche z e x hanno la stessa parità.

[Robertopphneimer]

Io ho trovato che devono essere tutte con la stessa parità. Infatti x e y hanno la stessa parità, quindi i quadrati sono congrui a modulo quattro.
Allora
$5x^2-11y^2\equiv-6x^2\equiv 14z^2 \pmod4$ quindi anche z e x hanno la stessa parità.

Ed io lo sapevo che c'era un modulo quattro!!,ci si può lavorare su penso.

Io ho provato a sviluppare un sistema di congruenze:

$ \left\{\begin{matrix} 14z^2+11y^2 \equiv 5x^2 (mod 3) \\ 14z^2+11y^2 \equiv 5x^2 (mod 4) \\14z^2 +11y^2 = 0(mod5) \end{matrix}\right. $

io così riesco solo a dire che y,z sono pari e quindi anche x . Però poi non so come poter raggiungere assurdi,o determinare dei valori precisi di x,y e z (mcm??)

[auron95]

Ecco la strada per giungere ad un assurdo:

Dimostrare che, comunque si fissino due valori $y$ e $z$, il massimo $e$ per cui $5^e\mid 11y^2+14z^2 $ è sempre un intero pari.

Siccome il massimo $e$ tale che $5^e \mid 5x^2$ è ovviamente dispari, si giungerebbe ad un assurdo.

P.S. So con (quasi) certezza che è vero perchè ho testato tutti i valori di y e z <9000 .....

[auron95]

P.S. So con (quasi) certezza che è vero perchè ho testato tutti i valori di y e z <9000 .....

E invece non è assolutamente vero (controprova $y=1,\ z=4$) perchè sono stupido.......

invece di verificare $11y^1+14z^2$ stavo verificando $ 11y^2+14y^2$..... come si fa a essere così furbi?!?

[Robertopphneimer]

non capisco il tuo ragionamento...da cosa deduci che il massimo e sia pari o dispari??(con la calcolatrice viene..c'è un qualche teorema?)

[auron95]

Ovviamente per $5x^2$ ci sono un numero dispari di fattori 5 (infatti poichè $x^2$ è quadrato l'esponente di 5 nella fattorizzazione è pari, moltiplicato per 5 esso diventa dispari) il problema che nell'altro caso ($11y^2+14z^2$) può essere sia pari sia dispari, quindi non penso sia quella la strada.

[Robertopphneimer]

io ho fatto due calcoli e vedo che con y=1 e z=4 viene 235...non è neanche potenza di 5!inoltre non puoi metter eun y pari ed un z dispari ti contraddiresti con la tua prima proposizione ed il mio sistema!

[auron95]

$14z^2= 5x^2-11y^2$

$0\equiv -2x^2 - 4 y^2 \equiv 2x^2 + 4y^2 \pmod7$

I residui quadratici modulo 7 sono 0,1,2,4

Moltiplicati per 2: $2\cdot 0=0, 2\cdot 1=2, 2\cdot 2 = 4, 2\cdot 4 =8\equiv1 \pmod7$
Allo stesso modo moltiplicati per 4 rimangono {0,1,2,4}.

Allora $2x^2, 4y^2 \in \{0,1,2,4\} \pmod7$

Siccome la somma dei due dev'essere congrua a 0 modulo 7, l'unico modo è che siano congrui entrambi gli addendi a 0 $\pmod7$

Siccome sia x che y sono congrui a 0 $\pmod7$, siccome sono al quadrato, saranno congrui a 0 anche a modulo 49.

Ma allora $0 \equiv 5x^2-11y^2 \equiv 14z^2 \pmod{49}$ quindi 7|x.

Allora possiamo dividere tutto per 49: ma possiamo fare lo stesso ragionamento di nuovo sulle variabili x/7,y/7,z/7, e possiamo ridividere e andare avanti all'infinito. Dubito che esista x tale che $7^\infty \mid x$...

[Robertopphneimer]

bel ragionamento attraverso i limiti...perciò..il mio ragionamento iniziale che non trovava soluzioni era giusto..d'altronde MCd tra i coefficienti è uno...
Non capisco una cosa quando dici che x e y sono congrui a 0 (mod 7 ) è un'ipotesi per verificare la veridicità dell'equazione?

[auron95]

No è che siccome i due addendi appartengono all'insieme delle classi {0,1,2,4} modulo 7, l'unico modo di prendere due termini all'interno dell'insieme tali che la somma sia congrua a 0 modulo 7 è prendere due 0. In tutti gli altri casi non ti viene divisibile per 7 (congruo a 0 mod 7)

[Robertopphneimer]

è si infatti mi chiedevo questa cosa (sembrava un...come posso dire ,poca generalità,ma è ovvio che devi prendere 0)
Comunque secondo te di fronte a un problema del genere,coloro che leggono la soluzione ad un problema di questo genere possono dare per giusto la mia prima soluzione(cioè i tentativi con 14=7*2=14*1) ,cioè con il raccoglimento,se aggiungo il fatto che non ci sono soluzioni possibili??
Posso confermare con MCD (Lhs,Rhs) =1?

[auron95]

$ 14 z^2= 5 x^2- 11 y^2= (5x \pm 11y)(x \mp y) \pm 7xy $

perciò $ 14|(5x \pm 11y)(x \mp y) $
e $ 2|7xy $

Il problema grosso è.... non dovrebbe essere $\pm6xy$??