{n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da jordan » 03 ago 2012, 22:05

auron95 ha scritto:il prodotto degli n numeri è congruo a 18! modulo 9 [...]
Modulo 19, per il resto è ok :)
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Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da ma_go » 03 ago 2012, 23:01

auron95 ha scritto:[...] per il teorema di nonmiricordopiùcomesichiama (Wilson forse? :oops: )[...]
si chiama teorema di wilson, confermo. però non è che meriti davvero di avere un nome... e, per chi non l'avesse mai visto, non è mai sprecata l'occasione di dimostrarselo da soli.
auron95 ha scritto:[...]ma -1 non è un residuo quadratico modulo 19 (infatti il prodotto totale dev'essere un quadrato)
questo merita un pochino più di approfondimento. sei giovine, quindi dovresti giustificare bene il fatto che -1 non è un residuo quadratico mod 19 (visto che lo si può fare a mano). anche qui, è un invito (a tutti) a dimostrarselo, visto che non è un fatto trascendentalmente difficile.

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Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da jordan » 03 ago 2012, 23:58

ma_go ha scritto:.. anche qui, è un invito (a tutti) a dimostrarselo, visto che non è un fatto trascendentalmente difficile.
Sì, hai ragione, comunque mi sono accorto aggiornando il thread della staffetta che proprio questo problema era comparso qualche mese fa, vabè..

Per la dimostrazione di quel fatto prendo $g$ generatore di $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (cioè $x=p-1$ è il piu' piccolo intero positivo tale che $p\mid g^x-1$)... chi continua?
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Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da auron95 » 04 ago 2012, 10:12

jordan ha scritto:Per la dimostrazione di quel fatto prendo $g$ generatore di $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (cioè $x=p-1$ è il piu' piccolo intero positivo tale che $p\mid g^x-1$)... chi continua?
Ne approfitto per fare una domanda: spesso vedo una scrittura del tipo $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ma non capisco mai cosa vuol dire..... me lo potresti spiegare?
Grazie (scusate se la domanda può sembrare banale per alcuni ma sono ancora un "novizio" e ho ancora moltissimo da imparare)
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Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da jordan » 04 ago 2012, 10:16

Mmh detta "alla grezza", gli interi modulo p.. in pratica e' il quoziente tra un gruppo e un suo ideale :roll:
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Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da auron95 » 04 ago 2012, 10:22

Gli interi a modulo p intendi le classi di resto? Cioè gli interi $0\leq n < p$?
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Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da jordan » 04 ago 2012, 10:24

auron95 ha scritto:Gli interi a modulo p intendi le classi di resto? Cioè gli interi $0\leq n < p$?

Una classe di resto non è un intero, ma come dice il nome stesso e' una classe di interi: difatti con $x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si intendono tutti e soli gli interi della forma $kn+x$ per qualche $k\in \mathbb{Z}$
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Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da Robertopphneimer » 04 ago 2012, 10:31

Auron..-1 mod19?? Oppure -1 modulo qualcos'altro??

Ps: Se puoi posta il link del teorema almeno vedo con i miei occhi.
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Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da auron95 » 04 ago 2012, 10:37

jordan ha scritto: Per la dimostrazione di quel fatto prendo $g$ generatore di $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (cioè $x=p-1$ è il piu' piccolo intero positivo tale che $p\mid g^x-1$)... chi continua?
Dovrebbe essere che siccome $a^1,\dots,a^{p-1}$ sono tutte le classi di resto (tranne lo 0) allora
$(p-1)!\equiv a^1\cdot \dots \cdot a^{p-1} = a^\frac{p(p-1)}{2} \pmod p$
che siccome l'esponente è un numero dispari che moltiplica mezzo ordine moltiplicativo allora è congruo a -1.

P.S questo l'ho fatto con le schede olimpiche davanti, perchè non riesco mai a capire quando usare i generatori, e come usarli.......
Robertopphneimer ha scritto:..-1 mod19??
:)
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Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da auron95 » 04 ago 2012, 10:44

jordan ha scritto:
auron95 ha scritto:il prodotto degli n numeri è congruo a 18! modulo 9 [...]
Modulo 19, per il resto è ok :)
Scusa mi ero perso questo messaggio. Edito subito :D
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Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da Robertopphneimer » 04 ago 2012, 11:05

ok dev'essere congruo a 18!(mod19) ma perché non operiamo con il 23 :wink: ??(altro numero primo) e con lo stesso ragionamento per i successivi...mod 19 poiché l'insieme dev'essere formato a numeri relativamente piccoli?
Ultima modifica di Robertopphneimer il 04 ago 2012, 11:20, modificato 2 volte in totale.
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Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da auron95 » 04 ago 2012, 11:16

Robertopphneimer ha scritto:21??(altro numero primo)
Davvero? ..... :wink:
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Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da Robertopphneimer » 04 ago 2012, 11:19

ah oddio mi sono confuso :oops: ,vabbè 23 :D
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Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da auron95 » 04 ago 2012, 11:26

Probabilmente puoi trovare un assurdo dato che i numeri sono formati da numeri primi minori o uguali a 17, però è più lungo e complicato, mentre puoi trovare subito l'assurdo a modulo 19 (per gli altri primi non è detto che $n\equiv 1 \pmod p$, ad es per 23 potrebbe essere anche congruo a 3 senza che tu incontri un multiplo di 23 nell'insieme....)
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Re: {n,n+1,...,n+17} in due sottoinsiemi a prod costante

Messaggio da Robertopphneimer » 04 ago 2012, 11:31

intendi $ 23 \equiv 1 (mod 2) $ ??
Ultima modifica di Robertopphneimer il 05 ago 2012, 15:42, modificato 1 volta in totale.
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