Permutazione di interi
Permutazione di interi
Siano dati $ n $ interi $ 1,2,3,4...,n $ disposti in un ordine qualsiasi. E' possibile sceglierne quattro qualsiasi e scambiare il primo scelto con il quarto, il terzo con il secondo. Dimostrare che se $ \displaystyle\frac{n(n-1)}{2} $ è pari allora è possibile riordinare gli $ n $ interi nell'ordine $ n,n-1,....,1 $.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: Permutazione di interi
Se $ \displaystyle\frac{n(n-1)}{2} $ è pari allora $4|n(n-1)$
Quindi o $4|n$ o $4|(n-1)$
Caso 1:
se $n$ è divisibile per $4$ ce la faccio, scambio il primo con l'ultimo e il secondo con il penultimo, poi il terzo con il terzultimo e il quarto con il quartultimo e così via.
Caso 2:
ho un numero in più rispetto al caso di prima, quindi scambio come nel caso 1 il primo con l'ultimo e il secondo con il penultimo ecc ecc. Alla fine rimango con un numero che è quello di mezzo che si troverà nella stessa posizione sia quando i numeri sono ordinati in modo crescente che decrescente.
Quindi o $4|n$ o $4|(n-1)$
Caso 1:
se $n$ è divisibile per $4$ ce la faccio, scambio il primo con l'ultimo e il secondo con il penultimo, poi il terzo con il terzultimo e il quarto con il quartultimo e così via.
Caso 2:
ho un numero in più rispetto al caso di prima, quindi scambio come nel caso 1 il primo con l'ultimo e il secondo con il penultimo ecc ecc. Alla fine rimango con un numero che è quello di mezzo che si troverà nella stessa posizione sia quando i numeri sono ordinati in modo crescente che decrescente.
$Q.E.D.$