Invertiamo le cifre e...

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Mist
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Invertiamo le cifre e...

Messaggio da Mist » 21 lug 2012, 21:31

Sia $N$ un numero di quattro cifre e $R(N)$ il numero ottenuto invertendo tutte le cifre. Per esempio $R(3275) = 5723$. Trovare tutti gli $N$ tali che $R(N) = 4N+3$.
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

frod93
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Re: Invertiamo le cifre e...

Messaggio da frod93 » 22 lug 2012, 01:51

Ispirazione notturna (notare l'ora tarda)

Ragionamento un po' da buzzurri, cioè molto empirico e da "giochi della Bocconi" però funziona:
$ N=1000a+100b+10c+d $ con $a,b,c,d \in \mathbb N $ e $0 \leq a,b,c,d \leq 9$ e $a\not= 0$
$ R(N)=1000d+100c+10b+a $
$ 1000d+100c+10b+a=4000a+400b+40c+4d+3 $
$ 3999a+390b-60c-996d+3=0 $
Da questa equazione già possiamo escludere molti valori di $a$, infatti se $a>2$ il LHS non farà mai $0$ neanche per $b=0, c=9, d=9$
Quindi $a=1$ o $a=2$
$ 1333a+130b-20c-332d+1=0 $
Qui possiamo escludere anche $a=2$ in quanto si avrebbe
$ 3667=-130b+20c+332d $ cioè dispari=pari+pari+pari
Quindi la prima cifra di $N$ è $1$.
L'Equazione diventa:
$ 1334=-130b+20c+332d $
L'unico modo per avere un 4 come ultima cifra nel RHS è che $d=2$ o $d=7$

Esaminiamo i due casi:
$d=7$
$ -99=-13b+2c $
Per avere soluzione si deve avere che $13b>99$ quindi $b=8$ o $b=9$
Sostituendo si vede però che l'unica soluzione è per $b=9$
Per cui $c=9$ quindi $N=1997$, che torna perché $1997*4+3=7991$

$d=2$
$ 67=-13b+2c $
che evidentemente non ha soluzioni.

L'unica soluzione è quindi $N=1997$ (e il Turbo Pascal conferma l'unicità :D)
$Q.E.D.$

ant.py
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Re: Invertiamo le cifre e...

Messaggio da ant.py » 22 lug 2012, 05:53

Rilancio scontato (penso sia fattibile ma non l'ho fatto): e se N ha un numero qualunque di cifre?
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