Siano $ p,q,r $ numeri primi.
Sappiamo che $ p $ divide $ qr − 1 $, $ q $ divide $ rp − 1 $ e $ r $ divide $ pq − 1 $.
Determina tutti i possibili valori di $ pqr $
[tex]pqr[/tex]
Re: [tex]pqr[/tex]
L'ipotesi implica che:
$pqr | (qr-1)(rp-1)(qp-1)$
$pqr | q^2r^2p^2 -qr^2p-q^2rp+qr-rp^2q+rp+qp-1$
Annullando gli addendi divisibili per $pqr$ ottengo:
$pqr | rp+qr+qp-1$
A questo punto è quasi fatto.
Senza perdere di generalità si pone $r \leq p \leq q$
E si ha quindi:
$pqr \leq rp+qr+qp-1 \leq 3pq-1$
In particolare $pqr \leq 3pq-1$ da cui necessariamente $r=2$.
Sostituendo quanto ricavato si ha:
$pq| (2p-1)(2q-1)$ da cui:
$pq | 2(p+q)-1$
Quindi
$pq \leq 2(p+q)-1 \leq 4q-1$
Da cui $p$ può essere solo $2$ o $3$
Con $p=2$ si ha che $2|2q-1$ assurdo. Quindi necessariamente $p=3$.
Ora rimane $q|rp-1$ ovvero $q|5$ quindi $q=5$.
Quindi $(2,3,5)$ è l'unica terna possibile e si verifica per sostituzione che soddisfa tutte e 3 le condizioni.
Poi ci sarebbero da considerare anche le permutazioni di quella terna visto che è simmetrico.
In ogni caso $pqr=30$
$pqr | (qr-1)(rp-1)(qp-1)$
$pqr | q^2r^2p^2 -qr^2p-q^2rp+qr-rp^2q+rp+qp-1$
Annullando gli addendi divisibili per $pqr$ ottengo:
$pqr | rp+qr+qp-1$
A questo punto è quasi fatto.
Senza perdere di generalità si pone $r \leq p \leq q$
E si ha quindi:
$pqr \leq rp+qr+qp-1 \leq 3pq-1$
In particolare $pqr \leq 3pq-1$ da cui necessariamente $r=2$.
Sostituendo quanto ricavato si ha:
$pq| (2p-1)(2q-1)$ da cui:
$pq | 2(p+q)-1$
Quindi
$pq \leq 2(p+q)-1 \leq 4q-1$
Da cui $p$ può essere solo $2$ o $3$
Con $p=2$ si ha che $2|2q-1$ assurdo. Quindi necessariamente $p=3$.
Ora rimane $q|rp-1$ ovvero $q|5$ quindi $q=5$.
Quindi $(2,3,5)$ è l'unica terna possibile e si verifica per sostituzione che soddisfa tutte e 3 le condizioni.
Poi ci sarebbero da considerare anche le permutazioni di quella terna visto che è simmetrico.
In ogni caso $pqr=30$