Un classico: $ab=a+b$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Drago96
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Un classico: $ab=a+b$

Messaggio da Drago96 » 26 giu 2012, 16:45

Visto che l'estate porta gente nuova, propongo un quesito che chiunque abbia una passione per la Matematica penso si sia fatto: ci sono due numeri il cui prodotto è uguale alla loro somma?
Ovvero per quali $a,b\in\mathbb N$ vale $a\cdot b=a+b$ ?

Il bello di questo problema è che si presta ad essere risolto con molte tecniche "standard" diverse (a me vengono in mente almeno 6 modi, di cui 3-4 completamente diversi) e per questo può eserre parecchio istrutivo per chi si avicina alle Olimpiadi! :)
(Prego dunque i più esperti di non postare tra 2 minuti tutti i modi per risolverlo...)
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Alepedra96
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Re: Un classico: $ab=a+b$

Messaggio da Alepedra96 » 26 giu 2012, 17:07

Un possibile modo alternativo potrebbe essere questo:
$ b(a-1)=a $ quindi $ (a-1)|a $ e questo è possibile solo se $ a=2 $ da cui si ricava che anche b vale 2

P.S. nei numeri naturali lo zero è incluso?
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Drago96
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Re: Un classico: $ab=a+b$

Messaggio da Drago96 » 26 giu 2012, 17:11

Alepedra96 ha scritto:Un possibile modo alternativo potrebbe essere questo:
$ b(a-1)=a $ quindi $ (a-1)|a $ e questo è possibile solo se $ a=2 $ da cui si ricava che anche b vale 2
E questo è uno...
Alepedra96 ha scritto:P.S. nei numeri naturali lo zero è incluso?
Sì, a meno che venga detto diversamente... ;) (per esempio: "dove $\mathbb N :=\{1,2,3,\dots\}$")
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Re: Un classico: $ab=a+b$

Messaggio da Alepedra96 » 26 giu 2012, 17:14

Ok grazie, quindi nella soluzione di prima va aggiunta la possibilità che siano entrambi zero.
Ultima modifica di Alepedra96 il 26 giu 2012, 19:13, modificato 1 volta in totale.
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Re: Un classico: $ab=a+b$

Messaggio da Alepedra96 » 26 giu 2012, 17:26

Mi è venuta in mente un'altra soluzione, risolvendo l'equazione $ t^2-kt+k=0 $, dove k è la somma dei numeri si trova che $ \Delta=k(k-4) $ che deve
essere un quadrato perfetto quindi o $ k=k-4 $ ma è impossibile oppure o $ k $ o $ k-4 $ sono uguali a zero quindi:
1) $ k=0 $ diventa $ t_1=t_2=0 $ quindi $ a=b=0 $
2) $ k=4 $ diventa $ t_1=t_2=2 $ quindi $ a=b=2 $
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Re: Un classico: $ab=a+b$

Messaggio da nic.h.97 » 26 giu 2012, 17:31

$ {b \over b-1}=a $
essendo b un numero naturale dispari il rapporto tra esso e il suo precedente sara' un numero reale ... lo stesso con tutti i numeri pari eccetto il 2 e lo 0

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Re: Un classico: $ab=a+b$

Messaggio da xXStephXx » 26 giu 2012, 19:17

Oppure c'è $b|a+b \Longleftrightarrow b | a$ e $a|a+b \Longleftrightarrow a|b$
Da cui $a|b$ e $b|a$ $\Longrightarrow a=b$

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Re: Un classico: $ab=a+b$

Messaggio da Drago96 » 26 giu 2012, 19:29

Ok, erano trascorsi i due minuti...
Riformulo: prego i più esperti di non risolvere il problema :)
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Re: Un classico: $ab=a+b$

Messaggio da <enigma> » 26 giu 2012, 19:32

Rilancio estemporaneo: quante sono le soluzioni a $ab=a+b$ in $\mathbb Z /n\mathbb Z$?
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)

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Re: Un classico: $ab=a+b$

Messaggio da zeitgeist505 » 26 giu 2012, 20:24

$\mathbb Z /n\mathbb Z$ cosa sarebbe? :?:

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Re: Un classico: $ab=a+b$

Messaggio da Drago96 » 26 giu 2012, 20:43

zeitgeist505 ha scritto:$\mathbb Z /n\mathbb Z$ cosa sarebbe? :?:
Gli interi modulo n ;) (ovvero da $0$ a $n-1$ )
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Re: Un classico: $ab=a+b$

Messaggio da LeZ » 26 giu 2012, 22:48

Forse si potrebbe fare qualcosa anche con AM-GM :D

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Re: Un classico: $ab=a+b$

Messaggio da ale.b » 27 giu 2012, 11:59

Piccolo rilancio poco più difficile:
Risolvere l'equazione $abc=a+b+c$ con $a,b,c\in\mathbb{N}$.

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Re: Un classico: $ab=a+b$

Messaggio da Drago96 » 27 giu 2012, 15:15

ale.b ha scritto:Piccolo rilancio poco più difficile:
Risolvere l'equazione $abc=a+b+c$ con $a,b,c\in\mathbb{N}$.
C'è un metodo che è identico anche per quello a due incognite! :D
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Re: Un classico: $ab=a+b$

Messaggio da Alepedra96 » 27 giu 2012, 16:04

Visto che rilanciano tutti rilancio anche io: se abbiamo che la somma di k numeri è uguale al loro prodotto, per quali valori di k c'è una
sola soluzione(esclusa la banale formata da tutti 0) con $ k<25 $
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