Alla ricerca del primo

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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razorbeard
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Alla ricerca del primo

Messaggio da razorbeard » 18 giu 2012, 08:43

Determinare tutte le coppie $a,b$ tali che $\displaystyle 2^{2^a-b^2}+1997$ sia un numero primo.
E' un buon giorno... per morire

LeZ
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Re: Alla ricerca del primo

Messaggio da LeZ » 18 giu 2012, 10:00

$ 1997\equiv 2 mod 3 $ e$ 1997\equiv 2 mod 5 $. Chiamo $ 2^a-b^2 = c $
Caso 1. $ 2^{c}\equiv 1 mod 3 $ se $ c \equiv 0 mod 2 $, affinchè c sia dispari è necessario b dispari.
Caso 2. $ 2^{c}\equiv 3 mod 5 $ se $ c \equiv 3 mod 4 $, affinche c sia pari è necessario b pari. Assurdo con quanto trovato prima.
Segue che l'unico caso accettabile è $ c \equiv 1 mod 4 $, ovvero le coppie non negative $ (a,b) (1,1); (0,0) $. Infatti $ 1999 $ è primo.

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razorbeard
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Re: Alla ricerca del primo

Messaggio da razorbeard » 18 giu 2012, 17:02

LeZ ha scritto: Segue che l'unico caso accettabile è $ c \equiv 1 mod 4 $, ovvero le coppie non negative $ (a,b) (1,1); (0,0) $. Infatti $ 1999 $ è primo.
Scusa ma in questo modo non dimostri che gli unici valori accettabili di $c$ sono tutti $\equiv 1 mod4$?
Come fai a dire che solo 1 va bene?
E' un buon giorno... per morire

LeZ
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Re: Alla ricerca del primo

Messaggio da LeZ » 19 giu 2012, 10:26

Per $ a>1 $ $ c $ vale sempre $ 3 mod 4 $. Sarò più chiaro. Analizzo $ c $ mod 4. per $ a>1 $ $ 2^a\equiv 0 mod 4 $, mentre $ b^2\equiv 0 mod 4 $ o $ 1 mod 4 $. Di conseguenza $ c\equiv 0 mod 4 $ o $ 3 mod 4 $.

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stickman
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Re: Alla ricerca del primo

Messaggio da stickman » 28 lug 2012, 10:24

LeZ ha scritto: Caso 1.$ 2^c≡1mod3$ se $c≡0mod2$, affinchè c sia dispari è necessario b dispari.
Caso 2.$ 2^c≡3mod5$ se $c≡3mod4$, affinche c sia pari è necessario b pari. Assurdo con quanto trovato prima.
Potresti rispiegare per favore dov'è l'assurdo, io non l'ho capito :oops:

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