$(a+1)(b+1)(c+1)=2abc$

[Mist]

Trovare tutte le soluzioni in $\mathbb{N}$ di $(a+1)(b+1)(c+1) = 2abc$.

[Claudio.]

Da $(a+1)(b+1)(c+1)=2abc$ possiamo scrivere $a,b,c \mid (a+1)(b+1)(c+1)$ quindi avremmo due possibilità, ma per simmetria possiamo semplicemente prendere:
$a\mid b+1$, $b\mid c+1$ e $c\mid a+1$ se $a\ne b+1 \wedge b\ne c+1 \wedge c\ne a+1 \Rightarrow c\le a\le b \wedge b\le c$ cioè $a=b=c$ che non porta a soluzioni. Allora almeno uno dei diversi è un uguale:
$b=c+1 \Rightarrow a=1+\frac4{c-2}$ e troviamo le soluzioni $(5,4,3); (3,5,4) e (2,7,6)$ quindi le soluzioni sono $(3,4,5); (2,6,7)$ e simmetriche.

Non postavo da un po' di tempo

[LeZ]

$ (15,4,2) ; (9,5,2) ; (8,3,3)?.. $

[Claudio.]

Io l'ho detto che non postavo da un po' LoL
In questo momento non trovo l'errore....

[Karl Zsigmondy]

Io l'ho detto che non postavo da un po' LoL
In questo momento non trovo l'errore....

Può succedere che $ a \nmid (b+1) \ ; \ a \nmid (c+1) \ ; \ a \mid (b+1)(c+1) $

[jordan]

Prova a vederlo come $\displaystyle \prod_{cyc}{\left(1+\frac{1}{a}\right)}=2$...

[Karl Zsigmondy]

Innanzitutto è ovvio che a,b,c sono positivi. Ora sia WLOG $ a \leq b \leq c $, allora ho che $ a \leq 3 $. Infatti, se riscrivo il testo come $ \frac{a+1}{a} \cdot \frac{b+1}{b} \cdot \frac{c+1}{c} = 2 $ è evidente che se $ a \geq 4 $ allora $ 2=RHS = LHS \leq \frac{5^3}{4^3}=1.953125 $ che è assurdo. Quindi posso distinguere 3 casi.

CASO 1: a=1
$ b+c+1=0 $ che non ha evidentemente soluzione.

CASO 2: a=2
$ 3(b+1)(c+1)=4bc \rightarrow c=\frac{3b+3}{b-3}=3+\frac{12}{b-3} $. Dato che $ (b-3) \mid 12 $ e c è positivo ho che b può valere 4,5,6,7,9,15 (non 1 perché a=2) e c rispettivamente 15,9,7,6,5,4 quindi ho ottenuto le terne di soluzioni non ordinate: $ (2,4,15) ; (2,5,9) ; (2,6,7) $.

CASO 3: a=3
$ 4(b+1)(c+1)=6bc \rightarrow c = \frac{2b+2}{b-2} = 2 + \frac{6}{b-2} $. Le uniche soluzioni accettabili per la b sono 3,4,5,8 da cui i valori corrispettivi di c saranno 8,5,4,3. Le terne non ordinate ottenute sono: $ (3,3,8) ; (3,4,5) $.

Le uniche terne non ordinate che sono soluzioni sono:
$ (2,4,15) \ ; \ (2,5,9) \ ; \ (2,6,7) \ ; \ (3,3,8) \ ; \ (3,4,5) $