Bocconi 2012

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Claudio.
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Bocconi 2012

Messaggio da Claudio. » 28 mag 2012, 13:45

Non sapevo se metterlo qui o in combinatoria, comunque è abbastanaza semplice ^^
Dato un insieme di $n$ elementi, lo si partisce in 2 insiemi di $n_1$ e $n_2$ elementi (chiaramente $n_1+n_2=n$) e si fa il prodotto $n_1\cdot n_2$. Si prosegue così finchè non restano $n$ insiemi formati da un elemento e si sommano tutti i prodotti ottenuti. Dimostrare che definito $n$ la somma è costante in qualsiasi modo si decida di dividere i vari insiemi che si ottengono.

xXStephXx
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Re: Bocconi 2012

Messaggio da xXStephXx » 29 mag 2012, 17:36

Se ho capito cosa chiede il testo.. $ n $ lo si può spezzare come somma di $ n $ unità.. Ovvero $ 1+1+1+...+1 $ n volte.

Poi si divide quella "cosa" in due parti e si moltiplicano le due parti:
$ (1+1+...+1)(1+1+...+1) $ (da una parte ci sono $ n_1 $ "uni" e dell'altra $ n_2 $)
Senza perdere di generalità, il primo "uno" (quello più a sinistra) viene moltiplicato per ogni "uno" che sta nella parentesi più a destra applicando la proprietà distributiva e si ottiene una somma di prodotti uguali a 1.
Poi si prende solo la prima parentesi e si divide in due parti in modo analogo a prima.. Di nuovo quell'uno più a sinistra viene moltiplicato per ogni "uno" che si trova dall'altra parte.. E si continua così finchè non rimane da solo.. Alla fine quell' "uno" è stato moltiplicato una volta per ogni altro "uno" presente all'inizio.. La stessa cosa succede per ogni altro "uno" (ho preso quello più a sinistra per comodità).. Quindi ogni "uno" viene moltiplicato una volta per ogni altro "uno" e il risultato di ognuno di questi prodotti è 1.. Quindi si ottengono $ \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} $ addendi tutti uguali ad 1. Quindi il risultato è $ \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} $.. E non dipende da come vengono divisi gli "uni" visto che comunque ogni "uno" viene moltiplicao per tutti gli altri a prescindere.

Claudio.
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Re: Bocconi 2012

Messaggio da Claudio. » 30 mag 2012, 17:16

Io avevo usato un'induzione.

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