Sequenza di primi
Sequenza di primi
E' definita la seguente successione: $ a_1=2 $ e $ a_n $ è il massimo divisore primo di $ a_1a_2a_3...a_{n-1}+1. $ Dimostrare che 5 non compare in tale successione.
Re: Sequenza di primi
Dimostro per induzione che, per ogni intero positivo $ n $, $ a_{2n-1} \equiv 2 \mod{5} $, $ a_{2n} \equiv 3 \mod{5} $.
Per $ n=1 $, $ a_1=2 $ e $ a_2=3 $.
Suppongo che per ogni $ i \leq n $ la condizione sia verificata. Allora:
$ \displaystyle a_{2n+1} \equiv \prod_{i=1}^{n}{a_{2i-1}a_{2i}}+1 \equiv 6^n+1 \equiv 2 \mod{5} $
$ \displaystyle a_{2n+2} \equiv a_{2n+1}\prod_{i=1}^{n}{a_{2i-1}a_{2i}}+1 \equiv 2 \cdot 6^n+1 \equiv 3 \mod{5} $.
Per $ n=1 $, $ a_1=2 $ e $ a_2=3 $.
Suppongo che per ogni $ i \leq n $ la condizione sia verificata. Allora:
$ \displaystyle a_{2n+1} \equiv \prod_{i=1}^{n}{a_{2i-1}a_{2i}}+1 \equiv 6^n+1 \equiv 2 \mod{5} $
$ \displaystyle a_{2n+2} \equiv a_{2n+1}\prod_{i=1}^{n}{a_{2i-1}a_{2i}}+1 \equiv 2 \cdot 6^n+1 \equiv 3 \mod{5} $.
Pota gnari!