Identità strana

[53thebest]

Dimostrare che per ogni $n \geq 2$ intero positivo si ha:
$$
\sum_{k=2}^{n}\lfloor\sqrt[k]{n}\rfloor=\sum_{k=2}^{n}\lfloor\log_{k}n\rfloor.
$$

[dario2994]

Creo una tabella con $n-1$ righe numerate da 2 ad $n$ ed $n-1$ colonne numerate da $2$ ad $n$.
Nella casella alla i-esima riga e j-esima colonna metto una x sse $i^j\leq n$.
Alla i-esima riga quante sono le x? Chiaramente $\lfloor\log_i(n)\rfloor$.
Alla j-esima colonna quante sono le x? Chiaramente $\displaystyle\lfloor\sqrt[j]{n}\rfloor$.
Ma allora detto $X$ il numero di x in tabella vale:
$ \displaystyle \sum_{i=2}^n \lfloor\log_i(n)\rfloor=X=\sum_{j=2}^n\lfloor\sqrt[j]{n}\rfloor $
Che è la tesi.

p.s. solito double-counting ma mi andava di piazzarlo perchè l'identità mi ha stupito!