OliForum Matematico

Dimostrare che la sequenza definita con $y_0 =1$ e $\displaystyle y_{n+1} = \frac{3y_n +\sqrt{5y_n^2-4}}{2}$ è composta solamente da numeri interi.

Questa è bella... vengono fuori valori alternati della serie di Fibonacci! Devo dimostrare questo bizzarro quanto interessante fatto...

zeitgeist505 ha scritto:

Testo nascosto:

Fibonacci?

argh! battuto di poco!

Io personalmente non ho usato (e non mi sono nemmeno accordo di) Fibonacci

Mist ha scritto:Io personalmente non ho usato (e non mi sono nemmeno accordo di) Fibonacci

e invece la tua sequenza ''spara'' numeri di Fibonacci mooolto particolari

Idea! Se io riscrivo $ y_{n+1} $ sotto forma di equazione di secondo grado cosi? :
$ {y_{n+1}}^2-3y_{n+1}y_n+{y_n}^{2}+1=0 $

LeZ ha scritto:Idea! Se io riscrivo $ y_{n+1} $ sotto forma di equazione di secondo grado cosi? :
$ {y_{n+1}}^2-3y_{n+1}y_n+{y_n}^{2}+1=0 $

Esattamente! E poi scrivi:

$ y_{n}=\frac {3{y_{n+1}}- \sqrt{5{y_{n+1}^2}-4}} {2} $

Dove c'è il segno meno perché altrimenti la frazione è maggiore di $ y_{n+1} $.

Scriviamo poi $ y_{n+2}=\frac {3{y_{n+1}}+ \sqrt{5{y_{n+1}^2}-4}} {2} $ cioè $ y_{n+2}=3{y_{n+1}}- \frac {3{y_{n+1}}- \sqrt{5{y_{n+1}^2}-4}} {2} $ e infine $ y_{n+2}={3{y_{n+1}}}-y_{n} $ che conferma la tesi.