Una sequenza sempre intera

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Mist
Messaggi: 542
Iscritto il: 01 gen 2011, 23:52
Località: Provincia di Milano

Una sequenza sempre intera

Messaggio da Mist » 16 apr 2012, 20:48

Dimostrare che la sequenza definita con $y_0 =1$ e $\displaystyle y_{n+1} = \frac{3y_n +\sqrt{5y_n^2-4}}{2}$ è composta solamente da numeri interi.
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

zeitgeist505
Messaggi: 96
Iscritto il: 26 feb 2012, 18:49

Re: Una sequenza sempre intera

Messaggio da zeitgeist505 » 16 apr 2012, 21:14

Testo nascosto:
Fibonacci?

Avatar utente
balossino
Messaggi: 103
Iscritto il: 20 mag 2011, 19:38

Re: Una sequenza sempre intera

Messaggio da balossino » 16 apr 2012, 21:17

Questa è bella... vengono fuori valori alternati della serie di Fibonacci! Devo dimostrare questo bizzarro quanto interessante fatto...

Avatar utente
balossino
Messaggi: 103
Iscritto il: 20 mag 2011, 19:38

Re: Una sequenza sempre intera

Messaggio da balossino » 16 apr 2012, 21:18

zeitgeist505 ha scritto:
Testo nascosto:
Fibonacci?
argh! battuto di poco! :D

Mist
Messaggi: 542
Iscritto il: 01 gen 2011, 23:52
Località: Provincia di Milano

Re: Una sequenza sempre intera

Messaggio da Mist » 16 apr 2012, 21:34

Io personalmente non ho usato (e non mi sono nemmeno accordo di) Fibonacci :o
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

zeitgeist505
Messaggi: 96
Iscritto il: 26 feb 2012, 18:49

Re: Una sequenza sempre intera

Messaggio da zeitgeist505 » 16 apr 2012, 21:47

Mist ha scritto:Io personalmente non ho usato (e non mi sono nemmeno accordo di) Fibonacci :o
e invece la tua sequenza ''spara'' numeri di Fibonacci mooolto particolari ;)

LeZ
Messaggi: 284
Iscritto il: 08 mag 2011, 21:28

Re: Una sequenza sempre intera

Messaggio da LeZ » 16 apr 2012, 22:32

Idea! Se io riscrivo $ y_{n+1} $ sotto forma di equazione di secondo grado cosi? :
$ {y_{n+1}}^2-3y_{n+1}y_n+{y_n}^{2}+1=0 $

Avatar utente
balossino
Messaggi: 103
Iscritto il: 20 mag 2011, 19:38

Re: Una sequenza sempre intera

Messaggio da balossino » 19 apr 2012, 17:53

LeZ ha scritto:Idea! Se io riscrivo $ y_{n+1} $ sotto forma di equazione di secondo grado cosi? :
$ {y_{n+1}}^2-3y_{n+1}y_n+{y_n}^{2}+1=0 $
Esattamente! E poi scrivi:

$ y_{n}=\frac {3{y_{n+1}}- \sqrt{5{y_{n+1}^2}-4}} {2} $

Dove c'è il segno meno perché altrimenti la frazione è maggiore di $ y_{n+1} $.

Scriviamo poi $ y_{n+2}=\frac {3{y_{n+1}}+ \sqrt{5{y_{n+1}^2}-4}} {2} $ cioè $ y_{n+2}=3{y_{n+1}}- \frac {3{y_{n+1}}- \sqrt{5{y_{n+1}^2}-4}} {2} $ e infine $ y_{n+2}={3{y_{n+1}}}-y_{n} $ che conferma la tesi.

Rispondi