1) Trovare gli interi non negativi $ a,b $ tali che $ a^2-7^b=15. $
2) Trovare tutti gli interi $ n $ per cui $ n^2+20n+11 $ è un quadrato perfetto.
3) Dimostrare che il prodotto di 4 interi positivi consecutivi non può essere anche il prodotto di due interi positivi consecutivi.
4) Tutti gli interi da 1 ad $ n $ vengono scritti su una lavagna tranne uno. La media aritmetica dei numeri alla lavagna è 40,75. Determinare il numero mancante.
Mix
-
Karl Zsigmondy
- Messaggi: 138
- Iscritto il: 09 lug 2011, 14:32
- Località: Città di Altrove, Kansas
Re: Mix
1) E' evidente che $ a \geq 4 $, ora analizzando modulo 2 si ha che a è necessariamente pari, quindi analizzando modulo 4 ho che $ 0-(-1)^b \equiv -1 \pmod{4} $ ovvero $ (-1)^b \equiv 1 \pmod{4} $ da cui segue che b è pari. Pongo b=2x e quindi ho che $ a^2 - 7^{2x} = 15 \ ; \ (a+7^x)(a-7^x)=15 $. Ora il primo dei due fattori è maggiore del secondo e sono entrambi quindi positivi, quindi valgono rispettivamente 15;1 o 5;3. Nel primo caso ottengo la soluzione (a,b)=(8,2), nel secondo caso la soluzione (a, b)=(4,0).
2)$ n^2+20n+11=x^2 \ ; n^2 + 20n + (11-x^2)=0 $. Ora n è intero sse $ 10^2 -(11-x^2) = y^2 \ ; \ y^2-x^2=89 \ ; \ (y+x)(y-x)=89 $. Posso supporre WLOG x e y maggiori di 0 e quindi y+x=89, y-x=1 da cui y=45 e x=44. Quindi, dato che $ 44^2=1936 $, ho $ n^2+20n-1925=0 \ ; \ (n+55)(n-35)=0 $.
Quindi n=-55 oppure n=35.
3) Supponiamo che esistano a, b tali che a(a+1)(a+2)(a+3) = b(b+1). Ovvero$ (a^2+3a+1)^2+1=b^2+b \ ; \ (a^2+3a+1)^2=b^2+b-1 $. Ora il tutto è possibile solo per i b tali che $ b^2+b-1 $ sia un quadrato, il che è impossibile perché è compreso fra due quadrati $ b^2 \ ; b^2+2b+1 $. A meno che b=1, ma in questo caso è evidente che non ci sono soluzioni.
4)La media cercata per ogni n è minore o uguale a $ \frac{n+2}{2} $ (se escludo l'1 dalla media). La prima volta che questo valore supera 40.75 è per n=80. In questo caso la somma è 3240, cerco x tale che $ \frac{3240-x}{79}=40.75 $ ma non esistono x interi siffatti. Per n=81 invece la somma 3321 e cerco x tale che $ \frac{3321-x}{80}=40.75 $ da cui x=61. Se procedo oltre con gli n, dato che in generale la media cercata per ogni n è maggiore o uguale a $ \frac{n}{2} $ (se escludo n dalla media), non otterrò altre soluzioni.
2)$ n^2+20n+11=x^2 \ ; n^2 + 20n + (11-x^2)=0 $. Ora n è intero sse $ 10^2 -(11-x^2) = y^2 \ ; \ y^2-x^2=89 \ ; \ (y+x)(y-x)=89 $. Posso supporre WLOG x e y maggiori di 0 e quindi y+x=89, y-x=1 da cui y=45 e x=44. Quindi, dato che $ 44^2=1936 $, ho $ n^2+20n-1925=0 \ ; \ (n+55)(n-35)=0 $.
Quindi n=-55 oppure n=35.
3) Supponiamo che esistano a, b tali che a(a+1)(a+2)(a+3) = b(b+1). Ovvero$ (a^2+3a+1)^2+1=b^2+b \ ; \ (a^2+3a+1)^2=b^2+b-1 $. Ora il tutto è possibile solo per i b tali che $ b^2+b-1 $ sia un quadrato, il che è impossibile perché è compreso fra due quadrati $ b^2 \ ; b^2+2b+1 $. A meno che b=1, ma in questo caso è evidente che non ci sono soluzioni.
4)La media cercata per ogni n è minore o uguale a $ \frac{n+2}{2} $ (se escludo l'1 dalla media). La prima volta che questo valore supera 40.75 è per n=80. In questo caso la somma è 3240, cerco x tale che $ \frac{3240-x}{79}=40.75 $ ma non esistono x interi siffatti. Per n=81 invece la somma 3321 e cerco x tale che $ \frac{3321-x}{80}=40.75 $ da cui x=61. Se procedo oltre con gli n, dato che in generale la media cercata per ogni n è maggiore o uguale a $ \frac{n}{2} $ (se escludo n dalla media), non otterrò altre soluzioni.
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi."
"Life is very short and there's no time for fussing and fighting, my friend!"
"Life is very short and there's no time for fussing and fighting, my friend!"