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Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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pepperoma
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Messaggio da pepperoma » 30 mar 2012, 14:39

1) Trovare gli interi non negativi $ a,b $ tali che $ a^2-7^b=15. $
2) Trovare tutti gli interi $ n $ per cui $ n^2+20n+11 $ è un quadrato perfetto.
3) Dimostrare che il prodotto di 4 interi positivi consecutivi non può essere anche il prodotto di due interi positivi consecutivi.
4) Tutti gli interi da 1 ad $ n $ vengono scritti su una lavagna tranne uno. La media aritmetica dei numeri alla lavagna è 40,75. Determinare il numero mancante.

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Karl Zsigmondy
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Re: Mix

Messaggio da Karl Zsigmondy » 30 mar 2012, 17:46

1) E' evidente che $ a \geq 4 $, ora analizzando modulo 2 si ha che a è necessariamente pari, quindi analizzando modulo 4 ho che $ 0-(-1)^b \equiv -1 \pmod{4} $ ovvero $ (-1)^b \equiv 1 \pmod{4} $ da cui segue che b è pari. Pongo b=2x e quindi ho che $ a^2 - 7^{2x} = 15 \ ; \ (a+7^x)(a-7^x)=15 $. Ora il primo dei due fattori è maggiore del secondo e sono entrambi quindi positivi, quindi valgono rispettivamente 15;1 o 5;3. Nel primo caso ottengo la soluzione (a,b)=(8,2), nel secondo caso la soluzione (a, b)=(4,0).
2)$ n^2+20n+11=x^2 \ ; n^2 + 20n + (11-x^2)=0 $. Ora n è intero sse $ 10^2 -(11-x^2) = y^2 \ ; \ y^2-x^2=89 \ ; \ (y+x)(y-x)=89 $. Posso supporre WLOG x e y maggiori di 0 e quindi y+x=89, y-x=1 da cui y=45 e x=44. Quindi, dato che $ 44^2=1936 $, ho $ n^2+20n-1925=0 \ ; \ (n+55)(n-35)=0 $.
Quindi n=-55 oppure n=35.
3) Supponiamo che esistano a, b tali che a(a+1)(a+2)(a+3) = b(b+1). Ovvero$ (a^2+3a+1)^2+1=b^2+b \ ; \ (a^2+3a+1)^2=b^2+b-1 $. Ora il tutto è possibile solo per i b tali che $ b^2+b-1 $ sia un quadrato, il che è impossibile perché è compreso fra due quadrati $ b^2 \ ; b^2+2b+1 $. A meno che b=1, ma in questo caso è evidente che non ci sono soluzioni.
4)La media cercata per ogni n è minore o uguale a $ \frac{n+2}{2} $ (se escludo l'1 dalla media). La prima volta che questo valore supera 40.75 è per n=80. In questo caso la somma è 3240, cerco x tale che $ \frac{3240-x}{79}=40.75 $ ma non esistono x interi siffatti. Per n=81 invece la somma 3321 e cerco x tale che $ \frac{3321-x}{80}=40.75 $ da cui x=61. Se procedo oltre con gli n, dato che in generale la media cercata per ogni n è maggiore o uguale a $ \frac{n}{2} $ (se escludo n dalla media), non otterrò altre soluzioni.
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