Somma di quadrati consecutivi

[LeZ]

Trovare il più piccolo $ n $ che può essere espresso come somma di $ 2 $ quadrati consecutivi, ma anche di $ 3 $ quadrati consecutivi.

[balossino]

Il più piccolo degli n che dici è 5, infatti 5=4+1=4+1+0. Invece il secondo è 365... ma lascio a voi la dimostrazione perché devo correre a studiare Hegel

[LeZ]

Si avevo dimenticato di chiedere interi positivi E' corretta come risposta 365, aspetto di vedere una buona dimostrazione, magari citando il numero prossimo di 365

[ant.py]

se non mi sbaglio dopo abbiamo $ n = 35645 = 133^2+134^2=108^2+109^2+110^2 $, mentre il successivo è $ n = 3492725 = 1321^2+1322^2= 1078^2+1079^2+1080^2 $

semi-dimostrazione:

Testo nascosto:

la metto in hide in quanto non è completa e ho il sospetto che ci siano modi molto più semplici per il momento posto solo i risultati a cui sono arrivato, poi magari la completo
poniamo $ n = p^2+(p+1)^2= a^2+(a+1)^2+(a+2)^2 $
riesco a stabilire che devono essere $ p = \frac{-1 + \sqrt{4m+1}}{2} $ , $ a = \frac{-6 + \sqrt{24m-12}}{6} $; ora basta trovare degli $ m $ per cui $ p, a \in N $ ; stabilisco che per ogni $ k $ tale che $ \ \sqrt{6k^2+6k+1} $ è intero, allora $ m = 9k^2+9k+2 $ funziona. I primi valori di $ k $ sono appunto $ k=0 \ (n = 5), $$ k = 4\ (n = 365), k = 44\ (n = 35645), $$ k = 440\ (n = 3492725) $ ecc. Il problema è che sarebbe meglio avere una formula "chiusa" per i valori di k che vanno bene, ammesso che quello che ho detto fino ad ora sia giusto

[LeZ]

Si è corretto, il problema si riduce ad utilizzare Pell

[ant.py]

Si è corretto, il problema si riduce ad utilizzare Pell

no purtroppo non ho usato pell..

dimostrazione:

$ n = p^2 + (p+1)^2 = a^2 + (a+1)^2 + (a+2)^2 $

da cui

$ 2p^2 + 2p = 3a^2 + 6a + 4 $ da qui capiamo che a è pari; in ogni caso poniamo
$ 3a^2 + 6a + 4 = 2m \Rightarrow a = \frac{-6 + \sqrt{24m - 12}}{6} $, mentre essendo $ 2p^2 + 2p = 2m $ si ha $ p = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4m}}{2} $; osserviamo, per quanto riguarda $ p $, che basta che il delta sia un quadrato (e sarà sicuramente dispari), affinchè $ p $ sia intero; quindi poniamo $ 4m + 1 = q^2 \Rightarrow m = \frac{(q-1)(q+1)}{4} $, che è intero per $ q $ dispari. Ora bisogna vedere quand'è che $ 24m -12 $ è un quadrato; sostituendo ad $ m $ quello che abbiamo trovato prima, si ha $ 6(q^2 - 3) = s^2 $, da cui $ q = \sqrt{\frac{s^2}{6} + 3} $; affinchè sia intero è necessario $ s = 6\alpha $, e quindi $ q = \sqrt{6{\alpha}^2 + 3} = \sqrt{3(2{\alpha}^2 + 1)} $. Allora possiamo porre $ 2{\alpha}^2 + 1 = 3{\beta}^2 $, e affinchè $ q $ sia intero è necessario che $ \alpha = \sqrt{\frac{3{\beta}^2-1}{2}} $ per qualche $ \beta $; se sostituiamo nell'equazione di $ q $ inoltre troviamo $ q = 3\beta $; essendo $ q $ dispari, anche $ \beta $ è dispari, quindi $ \beta = 2k + 1 $, e $ \alpha = \sqrt{6k^2 + 6k + 1} $, e $ q = 6k + 3, m = 9k^2 + 9k + 2 $. Quindi per tutti i $ k $ tale che $ \alpha $ sia intero, $ m $ è tale che sia $ 4m +1 $ che $ 24m - 12 $ sono quadrati; infine va verificato che $ a $ sia intero, e sostituendo a $ m = 9k^2 + 9k + 2 $, si ha $ a = \frac{-6 + \sqrt{216k^2 + 216k + 36}}{6} $; essendo $ 216k^2+216k+36 $ divisibile per $ 36 $, si ha che $ a $ è sicuramente intero.



immagino che con Pell venga più elegante, puoi postarla?

[LeZ]

Usiamo Pell.
La richiesta si elabora nel risolvere la seguente diofantea: $ a^2+(a+1)^2=(b-1)^2+b^2+(b+1)^2 $, ovvero $ 2a^2+2a-1-3b^2=0 $
$ a={-1\pm \sqrt{6b^2+3}\over2} $. Ora dobbiamo analizzare il Delta. $ \Delta = k^2 $, $ 6b^2+3=k^2 $. Quest' ultima si risolve utilizzando proprio Pell, infatti le soluzioni sono date da $ b = \pm{1\over4}\cdot (2\cdot(5-2 \sqrt6)^n+\sqrt6\cdot(5-2 \sqrt6)^n+2\cdot(5+2 \sqrt6)^n-\sqrt6\cdot(5+2 \sqrt6)^n) $, $ k = \pm{1\over2} (3\cdot(5-2\sqrt6)^n+\sqrt6\cdot(5-2\sqrt6)^n+3\cdot(5+2\sqrt6)^n-\sqrt6\cdot(5+2 \sqrt6)^n) $.
Segue che le coppie $ (b,k) $ sono per $ n=1 ,(\pm1, \pm3) $, per $ n=2, (\pm11, \pm27) $, per $ n=3 $, $ (\pm109, \pm267) $ e cosi via... Se torniamo all'equazione iniziale e sostituiamo i valori appena trovati, ricaviamo le seguenti coppie $ (a,b), (1,1) ; (13,11) ; (133,109) $ .. Difatti se verifichiamo: $ 13^2+14^2=10^2+11^2+12^2 $, $ 133^2+134^2=108^2+109^2+110^2 $ e cosi via..

[ant.py]

Molto bella

Hai qualche dispensa su pell da consigliare?

[LeZ]

Ecco guarda pure qua