Entrambi quadrati

[xXStephXx]

Trovare il più piccolo numero intero $ N_0 \geq 1 $ con la proprietà che $ N_0 +1 $ e
$ 2N_0+1 $ siano entrambi quadrati perfetti.
Mostrare poi che ogni intero $ N $ con questa proprietà è un multiplo di $ N_0 $.

(Non conosco la soluzione, a parte aver trovato $ N_0 $)

[Karl Zsigmondy]

Parte 1: $ N_0 = 24 $
Verifico a mano che la proprietà indicata non vale per $ 0 \leq N_0 \leq 23 $ (è facile, mi basta farlo per i quadrati meno 1) e osservo che vale per 24.

Parte 2: $ 24 \mid N_i $
$ N_i+1=a^2 $
$ 2N_i+1=b^2 $
Analizzando modulo 8 (dove i residui quadratici sono 0, 1, 4) ho che $ 2N_i $ può valere solo 0, 3, 7 ( mod 8 ), ma dato che è pari ho che fa necessariamente 0. Quindi $ N_i \equiv 0 \pmod{4} $. Ma dato che anche $ N_i $ può valere solo 0, 3, 7 ( mod 8 ) ho che vale 0 ( mod 8 ) quindi $ 8 \mid N_i $.
Analizzando modulo 3 (dove i residui quadratici sono 0 e 1) si ha che $ N_i $ può valere 0 oppure 1, così come $ 2N_i $, ma se $ N_i $ fosse 1 allora $ 2N_i $ sarebbe 2, quindi $ N_i \equiv 0 \pmod{3} $ da cui $ 3 \mid N_i $. Ho pertanto ottenuto che $ 24 \mid N_i $ che è la tesi.

[xXStephXx]

E io che cercavo a tutti i costi un'espressione per rappresentare la classe di n