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[tex]\binom{2n}{n}[/tex] periodica modulo [tex]m[/tex]

Inviato: 01 feb 2012, 01:06
da jordan
Definito $a_n:=\binom{2n}{n}$ per ogni intero positivo $n$, trovare tutti gli interi positivi $m$ tale che la sequenza degli $a_n$ e' periodica modulo $m$.

Re: [tex]\binom{2n}{n}[/tex] periodica modulo [tex]m[/tex]

Inviato: 02 feb 2012, 00:08
da amatrix92
Probabilemnte ho mal interpretato il significato di "periodica modulo m" perchè mi sembra troppo facile. Ci provo, se ho ben capito bisogno dimostrare che

esiste $ 0 \leq l < m $tale che $ a_n \equiv l \mod m $ per ogni $ n $

Gli unici m che vanno bene sono m=1 e m=2.
Infatti $ a_1=2, a_2=6 , a_3=20 $ dai primi due si ricava $ m<6 $ si verifica a mano che per m=3,5 i primi due non vanno d'accordo e per m=4 è il terzo a non andare con i primi due.
m=1 è banalmente vera, per dimostrare m=2 basta dimostrare che $ \displaystyle \frac{(2n)!}{(n!) ^2} $ è sempre pari ed è una semplice induzione.

Re: [tex]\binom{2n}{n}[/tex] periodica modulo [tex]m[/tex]

Inviato: 02 feb 2012, 08:12
da jordan
Periodica modulo m non significa definitivamente costante modulo m..