[tex]\binom{2n}{n}[/tex] periodica modulo [tex]m[/tex]

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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[tex]\binom{2n}{n}[/tex] periodica modulo [tex]m[/tex]

Messaggio da jordan » 01 feb 2012, 01:06

Definito $a_n:=\binom{2n}{n}$ per ogni intero positivo $n$, trovare tutti gli interi positivi $m$ tale che la sequenza degli $a_n$ e' periodica modulo $m$.
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amatrix92
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Re: [tex]\binom{2n}{n}[/tex] periodica modulo [tex]m[/tex]

Messaggio da amatrix92 » 02 feb 2012, 00:08

Probabilemnte ho mal interpretato il significato di "periodica modulo m" perchè mi sembra troppo facile. Ci provo, se ho ben capito bisogno dimostrare che

esiste $ 0 \leq l < m $tale che $ a_n \equiv l \mod m $ per ogni $ n $

Gli unici m che vanno bene sono m=1 e m=2.
Infatti $ a_1=2, a_2=6 , a_3=20 $ dai primi due si ricava $ m<6 $ si verifica a mano che per m=3,5 i primi due non vanno d'accordo e per m=4 è il terzo a non andare con i primi due.
m=1 è banalmente vera, per dimostrare m=2 basta dimostrare che $ \displaystyle \frac{(2n)!}{(n!) ^2} $ è sempre pari ed è una semplice induzione.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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jordan
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Re: [tex]\binom{2n}{n}[/tex] periodica modulo [tex]m[/tex]

Messaggio da jordan » 02 feb 2012, 08:12

Periodica modulo m non significa definitivamente costante modulo m..
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