Mathematical Reflections 2006, J2

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Eleven
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Mathematical Reflections 2006, J2

Messaggio da Eleven » 31 gen 2012, 18:17

Mostra che per ogni intero $ a \neq 0 $ è possibile trovare un intero $ b \neq 0 $ in modo tale che l'equazione $ ax^2 - (a^2+b)x + b = 0 $ abbia radici intere.

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karlosson_sul_tetto
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Re: Mathematical Reflections 2006, J2

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 31 gen 2012, 18:24

Testo nascosto:
Apriamo la parentesi e abbiamo $ ax^2-ax^2 +bx+b=0 $, quindi $ b(x+1)=0 $. Quindi $ b=0 $
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doiug.8
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Re: Mathematical Reflections 2006, J2

Messaggio da doiug.8 » 31 gen 2012, 18:33

karlosson_sul_tetto ha scritto:Apriamo la parentesi e abbiamo $ ax^2-ax^2 +bx+b=0 $, quindi $ b(x+1)=0 $. Quindi $ b=0 $
Riguarda ciò che hai scritto.

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<enigma>
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Re: Mathematical Reflections 2006, J2

Messaggio da <enigma> » 31 gen 2012, 18:34

karlosson_sul_tetto ha scritto:
Testo nascosto:
Apriamo la parentesi e abbiamo $ ax^2-ax^2 +bx+b=0 $, quindi $ b(x+1)=0 $. Quindi $ b=0 $
E' uno scherzo? :shock:
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)

Eleven
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Re: Mathematical Reflections 2006, J2

Messaggio da Eleven » 31 gen 2012, 18:35

Non mi torna il tuo testo..

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karlosson_sul_tetto
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Re: Mathematical Reflections 2006, J2

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 31 gen 2012, 18:36

Che scemo che sono :oops: Mi scuso con tutti.. avvo letto $ a^2x $ al posto di $ ax^2 $ :oops:
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doiug.8
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Re: Mathematical Reflections 2006, J2

Messaggio da doiug.8 » 31 gen 2012, 18:38

karlosson_sul_tetto ha scritto:Che scemo che sono :oops: Mi scuso con tutti.. avvo letto $ a^2x $ al posto di $ ax^2 $ :oops:
Semmai è il contrario ;)

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karlosson_sul_tetto
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Re: Mathematical Reflections 2006, J2

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 31 gen 2012, 18:40

doiug.8 ha scritto:
karlosson_sul_tetto ha scritto:Che scemo che sono :oops: Mi scuso con tutti.. avvo letto $ a^2x $ al posto di $ ax^2 $ :oops:
Semmai è il contrario ;)
Sono un fottuto idiota D: :oops:
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Mr. Mojo
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Re: Mathematical Reflections 2006, J2

Messaggio da Mr. Mojo » 31 gen 2012, 20:02

Scelgo $ b=ak $ da cui riscrivo l'equazione come

$ x^2-(a+k)x+k=0 $

Per le formule di viete ho che $ x_1x_2=k $ e $ x_1+x_2=a+k $.

Per dimostrare la tesi è sufficiente mostrare che l'equazione

$ x_1+x_2=a+x_1x_2 $

ha sempre soluzioni negli interi potendo scegliere liberamente $ x_1 $ e $ x_2 $.

Infatti si ha che

$ \displaystyle x_1=\frac{a-x_2}{1-x_2}=1+\frac{a-1}{1-x_2} $

che ha chiaramente soluzione per qualche x in N.

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Karl Zsigmondy
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Re: Mathematical Reflections 2006, J2

Messaggio da Karl Zsigmondy » 31 gen 2012, 20:08

Basta scegliere $ b=-2a^2+4a $
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jordan
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Re: Mathematical Reflections 2006, J2

Messaggio da jordan » 01 feb 2012, 01:01

Bonus: Mostrare che per ogni $\epsilon>0$ esiste $k>0$ tale che per ogni scelta di $a \in \mathbb{Z}\setminus \{0,1\}$, esistono al massimo $\lfloor ka^{\epsilon}\rfloor$ valori distinti di $b \in \mathbb{Z}$ tali che l'equazione sopra ha entrambe le radici intere.
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