Gara nazionale danese

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Avatar utente
alunik
Messaggi: 69
Iscritto il: 05 dic 2009, 12:07

Gara nazionale danese

Messaggio da alunik » 10 gen 2012, 13:30

Trovare tutte le coppie di numeri di due cifre tali che il loro prodotto divide il numero di quattro cifre formato scrivendo i due numeri attaccati (la cifra delle decine del primo numero diventa quella delle migliaia nel numero di quattro cifre e così via).
[tex]\equiv mergency[/tex]

Avatar utente
Karl Zsigmondy
Messaggi: 138
Iscritto il: 09 lug 2011, 14:32
Località: Città di Altrove, Kansas

Re: Gara nazionale danese

Messaggio da Karl Zsigmondy » 10 gen 2012, 18:59

Chiamo i numeri di due cifre a, b. Ho che $ ab \mid (100a+b) \rightarrow a \mid (100a+b) \rightarrow a \mid b $. Pongo quindi b=ka con k ovviamente intero. Pertanto ho che
$ ka^2 \mid (100+k)a \rightarrow ka \mid (100+k) \rightarrow k \mid (100+k) \rightarrow k \mid 100 $.
Dal momento che a è maggiore di 9 e b minore di 100, è necessario che k sia minore di 10, ma i divisori di 100 minori di 10 sono solo 1, 2, 4, 5.
Se k=1 ho che $ a^2 \mid 101a \rightarrow a \mid 101 $ che non è possibile poichè 101 è primo.
Se k=2 ho che a deve essere minore di 50. Ora $ 2a^2 \mid 102a \rightarrow a \mid 51 $ quindi a=17 e b=34.
Se k=4 ho che a deve essere minore di 25. Ora $ 4a^2 \mid 104a \rightarrow a \mid 26 $ quindi a=13 e b=52.
Se k=5 ho che a deve essere minore di 20. Ora $ 5a^2 \mid 105a \rightarrow a \mid 21 $, niente soluzioni.
Quindi le uniche due coppie che risolvono sono (17,34) e (13,52) e se si prova si vede che verificano.
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi."
"Life is very short and there's no time for fussing and fighting, my friend!"

Avatar utente
alunik
Messaggi: 69
Iscritto il: 05 dic 2009, 12:07

Re: Gara nazionale danese

Messaggio da alunik » 10 gen 2012, 19:59

Accidenti! Ho fatto tutto come te a parte il fatto che ho messo 51 primo, speriamo che non mi tolgano troppo, ero a un passo! Comunque sembra giusta :D
[tex]\equiv mergency[/tex]

Triarii
Messaggi: 464
Iscritto il: 18 nov 2010, 21:14

Re: Gara nazionale danese

Messaggio da Triarii » 10 gen 2012, 20:19

Confermo, pure io ho trovato le stesse soluzioni di Karl ;)
"We' Inge!"
LTE4LYF

Avatar utente
alunik
Messaggi: 69
Iscritto il: 05 dic 2009, 12:07

Re: Gara nazionale danese

Messaggio da alunik » 10 gen 2012, 20:31

Danesi bastardi :) mi confondevano le idee con le loro traduzioni sbagliate, vabbé spero si passi anche con 4 su 5 o meno (qui non ci sono 3 stage come il senior e il winter e il preimo, ma solo uno dove selezionano la squadra olimpica, e non sono granché, alle ultime hanno preso un bronzo e una menzione).
[tex]\equiv mergency[/tex]

Rispondi