Problemi sulla divisibilità

[Hawk]

Dato $ n\geq 3 $ con $ n \in \mathbb N $, mostrare che $ 1989 \mid n^{{n}^{n^n}}-n^{n^n} $.

[Carlitosming]

Dato $ n\geq 3 $ con $ n \in \mathbb N $, mostrare che $ 1989 \mid n^{{n}^{n^n}}-n^{n^n} $.

Non dovrebbe valere per n=4
Controesempio:13 divide 1989 dunque 13 divide $ n^{{n}^{n^n}}-n^{n^n} $
prendiamo $ n=4 $ e otteniamo $ 4^{4^4}(4^{{4}^{4^3}}-1) $
4 è comprimo con 13,dunque
$ 13 \mid (4^{{4}^{4^3}}-1) $
$ 13 \mid (256^{64}-1) $
$ 13 \mid (256^4-1) $ per teorema di fermat
ma $ (256^4-1) $ è conguro a $ -5 mod 13 $ dunque 13 non divide tutta la roba

[Hawk]

Un attimo, quando raccogli $ n^{n^n} $ non mi trovo con i conti, es $ n=4 $, dovrebbe venire $ 4^{{4^4}}=4^{256} $ e $ 4^{{4^4}^4}=4^{4^{256}} $ raccogliendo $ 4^{256}(4^{4^{256}-256}-1) $, che è diverso da quello che hai scritto.

[LeZ]

Dato $ n\geq 3 $ con $ n \in \mathbb N $, mostrare che $ 1989 \mid n^{{n}^{n^n}}-n^{n^n} $.

Non dovrebbe valere per n=4
Controesempio:13 divide 1989 dunque 13 divide $ n^{{n}^{n^n}}-n^{n^n} $
prendiamo $ n=4 $ e otteniamo $ 4^{4^4}(4^{{4}^{4^3}}-1) $
4 è comprimo con 13,dunque
$ 13 \mid (4^{{4}^{4^3}}-1) $
$ 13 \mid (256^{64}-1) $
$ 13 \mid (256^4-1) $ per teorema di fermat
ma $ (256^4-1) $ è conguro a $ -5 mod 13 $ dunque 13 non divide tutta la roba

La potenza è una funzione che va analizzata dall'alto verso il basso. E' sbagliatissimo dire che $ 4^{4^{4^{3}}} $=$ 256^{64} $, in quanto fa$ 4^{4^{64}} $. Notare che $ 256^{64} $ ha $ 155 $ cifre,$ 4^{4^{64}} $oltre $ 2\cdot{10^{38}} $ cifre.

[Claudio.]

A me al computer risulta che $5^{5^{5^{4}}}\equiv2 \pmod9$...

[LeZ]

$ 1989=3^{2}\cdot{13}\cdot{17} $. Proviamo con $ n=5 $ come suggerito. $ 9\mid {(5^{5^{5^{4}}}-1)} $, ma $ 5^{5^{625}} $ per Eulero, $ 5^{625}\equiv {5 (9)} $, da cui $ 5^5\equiv {2 (9)} $. Effettivamente questo sarebbe un controesempio, ma forse ho commesso io un errore.

[Hawk]

Scusate, lo già scritto, ma come raccogliete?
A me viene $ 5^{5^5}(5^{5^{5^5}-5^5}-1) $, da dove spunta fuori $ 5^{5^{5^{4}}} $ ?

[LeZ]

Hai ragione tu, abbiamo sbagliato a raccogliere