Esce qualsiasi numero

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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razorbeard
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Esce qualsiasi numero

Messaggio da razorbeard » 30 dic 2011, 10:28

Consideriamo le somme del tipo $±1±4±9±...±n^2$.
Dimostrare che ogni numero intero positivo si può rappresentare, per una opportuna scelta dei segni e di $n$, nel modo precedente.
(Per esempio 3=-1+4, 8=+1-4-9+16+25-36-49+64).
E' un buon giorno... per morire

Claudio.
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Re: Esce qualsiasi numero

Messaggio da Claudio. » 30 dic 2011, 15:16

Una soluzione non bella.
Poichè $(n+1)^2-n^2=2n+1$ se alterno i segni partendo da -1 e poi sommio a due a due, ottengo una serie aritmetica di dispari che differiscono di 4 i cui segni posso gestirli a piacimento: $\pm3\pm7\pm11...$.
Adesso alterno nuovamente i segni con l primo negativo, se sommo fino al numero in posizione $2k$, ottengo $4k$. Se cambio il segno del primo addendo cioè -3, e sommo fino a $2k-2$ ottengo $4k+2$.
Se alterno invece i segni (sempre della serie di dispari) a partire da +3 sommando fino a $2k+1$ ottengo $4k+3$. Se pongo sia il 3 che il 7 negativi e dopo alterno(-3-7+11-15+19...) e sommo fino $2k+3$ ottengo $4k+1$.
Mi mancano da sistemare il $2=-1-4-9+16$ e il $6=+1-4+9$.

Mist
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Re: Esce qualsiasi numero

Messaggio da Mist » 30 dic 2011, 15:36

Ma scusami, in questi giorni prendo continue cantonate, ma non bastava partire da quello che hai detto te e dire:

Siccome $\forall \quad n$ $2n+1 = (n+1)^2-n^2$ la tesi è dimostrata per ogni numeri dispari. D'altra parte per i numeri pari si ha sempre per quello detto prima che $2n = (n+1)^2-n^2-1$ e abbiamo concluso :shock: Non ho capito bene il testo ?
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

Claudio.
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Re: Esce qualsiasi numero

Messaggio da Claudio. » 30 dic 2011, 15:39

Beh devi fare tutte le somme fino ad n, non puoi prenderene solo 2....nel senso non puoi fare 9-4, devi prendere tutti i quadrati da 1 a 9...

Mist
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Re: Esce qualsiasi numero

Messaggio da Mist » 30 dic 2011, 15:41

:p ah ecco, te pareva XD :|
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