SNS '74-'75, 4

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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fraboz
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SNS '74-'75, 4

Messaggio da fraboz » 10 dic 2011, 16:32

Dimostra che le soluzioni intere positive dell'equazione $ x+y+z=xyz $ sono solo $ (1;2;3) $ e permutazioni.

mattteo
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Re: SNS '74-'75, 4

Messaggio da mattteo » 10 dic 2011, 16:46

$ x=(y+z)/(yz-1) $. X è intero e quindi $ y+z>yz-1 $. L'equazione è simmetrica quindi possiamo porre$ y>z $. Ma $ y<(z+1)/(z-1)=1+(2/(z-1)) $. Se $ z>3 $, $ y<1 $, che è impossibile. Restano da verificare i casi in cui $ z<=3 $ e quelli in cui $ y=z $, trovando la soluzione 1;2;3

Claudio.
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Re: SNS '74-'75, 4

Messaggio da Claudio. » 10 dic 2011, 16:54

L'equazione è simmetrica rispetto alle tre variabili quindi possiamo porre senza perdita di generalità $x\le y\le z \Rightarrow 3z\ge xyz$. Poichè $z$ è positivo:$3\ge xy$, $xy$ è intero positivo abbiamo quindi 3 possibilità:$xy=1$; $xy=2$; $xy=3$. E dalle ultime due si trovano le soluzioni.

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