Numeri primi e quadrati perfetti

[Loreamico]

Dalle tavole numeriche ho notato che i quadrati perfetti la cui base è maggiore di 1 (4,9...) sono sempre la media fra due numeri primi. È possibile dimostrare questa cosa? Perché sono piuttosto inesperto...

[kalu]

Hai appena formulato un'interessante congettura: affermi che ogni quadrato possa essere espresso come media (aritmetica) di due numeri primi, ossia che per ogni intero $ n $ esistano due numeri primi $ p $ e $ q $ tali che $ n^2= \displaystyle \frac{p+q}{2} $.
(Molto) tempo fa un matematico di nome Goldbach formulò una congettura ancora più "forte", che implicherebbe la tua: egli ipotizzò che ogni intero maggiore di 1 possa essere scritto come media di due primi, ossia che per ogni intero $ n>1 $ esistano due primi $ p $ e $ q $ (non necessariamente distinti) tali che $ n= \displaystyle \frac{p+q}{2} $ (questa congettura è meglio nota con la formulazione "ogni numero pari maggiore di 2 può essere espresso come somma di due primi", che se ci pensi un po' è equivalente). Oggi questa congettura è ancora irrisolta, come tante altre ipotesi riguardo i numeri primi; anche la tua congettura (che, ripeto, è un caso particolare di quella di Goldbach) mi sembra un pò ardua da dimostrare
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