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Dimostrare che se $2a+3b$ è divisibile per 11 allora lo è anche $a^2-5b^2$.

Poniamo $2a+3b=11k$ da cui $a=\frac{11k-3b}{2}$ sostituendolo in $a^2-5b^2$ avremo che $\displaystyle a^2-5b^2=\frac{121k^2-11b^2-33kb}{4}$ che si può facilmente verificare essere divisibile per 11...

SNS 2007/2008 Problema 5
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Considero a e b non multipli di 11 altrimenti è banale. $a^2-5b^2 \equiv -10a^2-5b^2 \pmod {11}$ . Considero $-5(2a^2+b^2)$,
$a(2a+3b) \equiv 2a^2+3ab \equiv 0 \pmod {11}$ e $(2a+3b)b \equiv 2ab+3b^2 \equiv 0$
$-2a \equiv 3b \rightarrow -10a \equiv 15b \rightarrow a \equiv 4b$. Quindi $2a^2+5ab+3b^2 \equiv 2a^2+b(2a+3b+3a) \equiv 2a^2+3ab \equiv 2a^2+b^2 \equiv 0 \pmod {11}$
Cosi' $a^2-5b^2 \equiv -10a^2-5b^2 \equiv -5(2a^2+b^2) \equiv 0 \pmod {11}$