Divisibilità

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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razorbeard
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Divisibilità

Messaggio da razorbeard » 17 nov 2011, 18:43

Dimostrare che se $2a+3b$ è divisibile per 11 allora lo è anche $a^2-5b^2$.
E' un buon giorno... per morire

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ale.G
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Re: Divisibilità

Messaggio da ale.G » 17 nov 2011, 19:02

Poniamo $2a+3b=11k$ da cui $a=\frac{11k-3b}{2}$ sostituendolo in $a^2-5b^2$ avremo che $\displaystyle a^2-5b^2=\frac{121k^2-11b^2-33kb}{4}$ che si può facilmente verificare essere divisibile per 11...
I tuoi problemi te li puoi anche tenere: a me, invece, non dispiacerebbe avere un camper come questo !

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exodd
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Re: Divisibilità

Messaggio da exodd » 18 nov 2011, 00:47

SNS 2007/2008 Problema 5
viewtopic.php?t=13237
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

matty96
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Re: Divisibilità

Messaggio da matty96 » 20 nov 2011, 10:47

Considero a e b non multipli di 11 altrimenti è banale. $a^2-5b^2 \equiv -10a^2-5b^2 \pmod {11}$ . Considero $-5(2a^2+b^2)$,
$a(2a+3b) \equiv 2a^2+3ab \equiv 0 \pmod {11}$ e $(2a+3b)b \equiv 2ab+3b^2 \equiv 0$
$-2a \equiv 3b \rightarrow -10a \equiv 15b \rightarrow a \equiv 4b$. Quindi $2a^2+5ab+3b^2 \equiv 2a^2+b(2a+3b+3a) \equiv 2a^2+3ab \equiv 2a^2+b^2 \equiv 0 \pmod {11}$
Cosi' $a^2-5b^2 \equiv -10a^2-5b^2 \equiv -5(2a^2+b^2) \equiv 0 \pmod {11}$
<<Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
Algebra Astratta).
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$ \displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} $

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jordan
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Re: Divisibilità

Messaggio da jordan » 20 nov 2011, 15:09

jordan ha scritto:In $ \mathbb{Z}/11\mathbb{Z} $ vale $ a=-3b(2^{-1})=4b $ per ipotesi e vogliamo mostrare che $ a^2=5b^2=(4b)^2 $ :D
The only goal of science is the honor of the human spirit.

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