a+b|ab

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Avatar utente
ghilu
Messaggi: 177
Iscritto il: 06 gen 2008, 18:14
Località: bergamo

a+b|ab

Messaggio da ghilu » 14 nov 2011, 02:12

Sperando non sia mai stato postato... (e' un quesito abbastanza naturale)

Determinare tutte le coppie di numeri interi tali per cui
$ a+b \ \ |\ \ a\cdot b $
Non si smette mai di imparare.

NoAnni
Messaggi: 215
Iscritto il: 12 feb 2011, 14:32
Località: Roma

Re: a+b|ab

Messaggio da NoAnni » 14 nov 2011, 14:59

ghilu ha scritto:Sperando non sia mai stato postato... (e' un quesito abbastanza naturale)

Determinare tutte le coppie di numeri interi tali per cui
$ a+b \ \ |\ \ a\cdot b $
Interi o interi positivi?
Risolvo per gli interi positivi:

Trovo a mano il caso $ a=b=1 $

Ora se $ p|a+b $, allora necessariamente $ p|ab \Rightarrow p|a \wedge p|b $ (il perchè è abbastanza ovvio)
Ora scelgo $a':=\frac{a}{p}$ e $b':=\frac{b}{p}$. Si deve avere $a'+b' \ | \ p \cdot a'\cdot b'$.

Caso in cui $p$ non divide $ a'+b' $
Ora per principio di discesa infinita $a$ e $b$ devono avere gli stessi fattori primi, e quindi deve essere $a=b$.

Adesso se $a$ e $b$ soddisfano la tesi allora $a=b$.
Resta da dire per quali numeri la tesi è valida.
Poniamo $a=b=p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2}\cdot ...\cdot p_n^{a_n}$:
$a+b= 2 (p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2}\cdot ...\cdot p_n^{a_n})$ , mentre $ab=p_1^{2a_1} \cdot p_2^{2a_2}\cdot ...\cdot p_n^{2a_n}$
E' chiaro che rispettano la tesi solo i numeri pari (oltre ad 1)

EDIT Come mi hanno fatto notare manca il caso in cui $p|a'+b'$
Ultima modifica di NoAnni il 14 nov 2011, 19:31, modificato 1 volta in totale.
"Problem solving can be learned only by solving problems"

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: a+b|ab

Messaggio da jordan » 14 nov 2011, 16:36

Ma $3+6\mid 3\cdot 6$.
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Simo_the_wolf
Moderatore
Messaggi: 1019
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pescara

Re: a+b|ab

Messaggio da Simo_the_wolf » 14 nov 2011, 16:39

Attenzione NoAnni, dopo che sei arrivato a $ a' + b' | p \cdot a' \cdot b'$ non puoi andare di discesa infinita poiché quest'ultima scrittura NON implica $ a' + b' |a' \cdot b'$, chiaro?

NoAnni
Messaggi: 215
Iscritto il: 12 feb 2011, 14:32
Località: Roma

Re: a+b|ab

Messaggio da NoAnni » 14 nov 2011, 19:22

Simo_the_wolf ha scritto:Attenzione NoAnni, dopo che sei arrivato a $ a' + b' | p \cdot a' \cdot b'$ non puoi andare di discesa infinita poiché quest'ultima scrittura NON implica $ a' + b' |a' \cdot b'$, chiaro?
Si, mi ero scordato il p, e l'ho aggiunto senza pensarci troppo (nella fretta ho pensato si risolvesse semplicemente il problema) con l'intenzione di correggere dopo :D Cerco di correggere D:
"Problem solving can be learned only by solving problems"

Mist
Messaggi: 542
Iscritto il: 01 gen 2011, 23:52
Località: Provincia di Milano

Re: a+b|ab

Messaggio da Mist » 14 nov 2011, 19:41

Un vecchio febbraio chiedeva una cosa molto simile, solo che era mascherata e semplificata la questione...
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

Avatar utente
Drago96
Messaggi: 1139
Iscritto il: 14 mar 2011, 16:57
Località: Provincia di Torino
Contatta:

Re: a+b|ab

Messaggio da Drago96 » 14 nov 2011, 20:02

Mmm....
sono infinite, mi pare... :?

Ad esempio prendiamo $n$ e $n$, otteniamo $2n\mid n^2$, che è vero solo se $2\mid n$
Oppure con $n$ e $2n$ si ha $3n\mid 2n^2$ , che si ha solo quando $3\mid n$
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)

Mist
Messaggi: 542
Iscritto il: 01 gen 2011, 23:52
Località: Provincia di Milano

Re: a+b|ab

Messaggio da Mist » 14 nov 2011, 20:07

Sì, ok, ora trovale TUTTE :D non è difficile...

Hint da milionario ?
Testo nascosto:
L'anno in cui bill clinton iniziò il suo secondo mandato come presidente degli stati uniti.
:lol:
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

Avatar utente
exodd
Messaggi: 728
Iscritto il: 09 mar 2007, 19:46
Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa

Re: a+b|ab

Messaggio da exodd » 14 nov 2011, 21:58

Mist ha scritto:
Testo nascosto:
L'anno in cui bill clinton iniziò il suo secondo mandato come presidente degli stati uniti.
:lol:
Mi sfugge qualcosa? io resco a rendere tutte le soluzione tramite una sola espressione..
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

Mist
Messaggi: 542
Iscritto il: 01 gen 2011, 23:52
Località: Provincia di Milano

Re: a+b|ab

Messaggio da Mist » 14 nov 2011, 22:44

Allora posto la mia soluzione, così scopriamo se è corretto quello che ho fatto...

Per ipotesi $k(a+b)=ab$, ovvero $\displaystyle \frac{1}{b}+\frac{1}{a} = \frac{1}{k}$.Possiamo scrivere $b=k+\beta$ e $a = k+\alpha$. Sostituendo nell'equazione iniziale si ottiene che $k(2k+\alpha +\beta ) = (k+\beta )(k+\alpha )$ da cui si ricava che $k^2 = \alpha \beta$. A questo punto, io ho detto che siccome $\displaystyle \alpha = \frac{k^2}{\beta}$, si ha che l'equazione di partenza è soddisfatta per tutte le coppie $\displaystyle (a,b) = (k+\frac{k^2}{\beta}, k+\beta)$ al variare di $k\in \mathbb{Z}$ con $\beta$ che varia tra tutti i $\beta : \beta \mid k^2$. Non possiamo dire che sia proprio un'espressione unica, ma è qualcosa di compatto... Spero che sia giusto :oops:
Ultima modifica di Mist il 14 nov 2011, 23:02, modificato 1 volta in totale.
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

Avatar utente
exodd
Messaggi: 728
Iscritto il: 09 mar 2007, 19:46
Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa

Re: a+b|ab

Messaggio da exodd » 14 nov 2011, 22:55

Apparte questo
Mist ha scritto:Ovviamente $b,a >k$
mi sembra tutto giusto, anche perchè non hai usato mai che alfa e beta fossero positivi... Sto cercando di capire perchè la tua soluzione rientri nella mia e viceversa..
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

Mist
Messaggi: 542
Iscritto il: 01 gen 2011, 23:52
Località: Provincia di Milano

Re: a+b|ab

Messaggio da Mist » 14 nov 2011, 23:01

Sì, hai ragione, scusami XD è che ho scritto la soluzione pensando a quel vecchio febbraio che mi è subito tornato in mente e quindi ho scritto anche quello pensando di lavorare nei positivi :oops: Edito

Comunque a questo punto posta anche la tua se è diversa :wink:
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

Avatar utente
exodd
Messaggi: 728
Iscritto il: 09 mar 2007, 19:46
Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa

Re: a+b|ab

Messaggio da exodd » 14 nov 2011, 23:12

poniamo $ (a,b)=n $ e $ a=na' $ $ b=nb' $
$ a'+b'|na'b' $
quindi
$ na'b'=0 (mod a'+b') $
$ nb'^2=0 (mod a'+b') $
$ a'+b'|nb'^2 $
dato che $ (a',b')=1 $ allora $ (a'+b',b')=1 $
quindi
$ a'+b'|n $
ovvero
$ n=k(a'+b') $
le nostre coppie saranno quindi
$ ( k(x+y)x, k(x+y)y) $
per ogni scelta di $ k,x,y $ in Z
In teoria si dovrebbe avere (x,y)=1, ma in realtà se sostituiamo vediamo che vanno bene anche non coprimi
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

Avatar utente
exodd
Messaggi: 728
Iscritto il: 09 mar 2007, 19:46
Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa

Re: a+b|ab

Messaggio da exodd » 14 nov 2011, 23:23

Ok, ho dimostrato che sono equivalenti :wink:
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

Rispondi