Potenze di 2
Potenze di 2
Esiste una potenza di 2 (con tutte le cifre diverse da 0)che scritta in base 10 ha le cifre tutte uguali a quelle di un'altra potenza di 2(ovviamente anche questa scritta in base 10 e senza 0)??
Re: Potenze di 2
Non esiste.. Perchè per esistere dovrebbero avere lo stesso numero di cifre.. E le potenze che tra loro hanno lo stesso numero di cifre possono essere al massimo 4.
Quindi se abbiamo:
$ 2^n $ i possibili numeri per cui si verifica quanto richiesto potrebbero essere $ 2^{n-1} $, $ 2^{n-2} $ e $ 2^{n-3} $..
Se le cifre sono uguali passando da una potenza all'altra il resto della divisione per 3 dovrebbe rimanere invariato..
Allora se passo da $ 2^{n-3} $ a $ 2^n $ devo moltiplicare per 8 che è congruo a 2 (mod 3).. Quindi se il numero di partenza era congruo a 1 ottengo un numero congruo a 2 e se era congruo a 2 ne ottengo uno congruo a 1 (una potenza di due ovviamente non può essere congrua a 0, quindi il caso lo escludo a priori).
Se passo da $ 2^{n-2} $ a $ 2^{n} $ devo moltiplicare per 4.. Allora stavolta uso il modulo 9 e i possibili resti che possono dare le potenze di 2 sono (1,2,4,8,7,5).. Noto che se $ 2^{n-2} $ da uno di quei resti, moltiplicato per 4 da un altro resto.. Quindi anche questo passaggio è impossibile..
Ora passo da $ 2^{n-1} $ a $ 2^{n} $.. Moltiplicando per 2 (ora modulo 3), se il resto era 1 diventa 2, se era 2 diventa 1, quindi è impossibile.. Insomma se non ho cannato qualcosa la risposta è no.
Quindi se abbiamo:
$ 2^n $ i possibili numeri per cui si verifica quanto richiesto potrebbero essere $ 2^{n-1} $, $ 2^{n-2} $ e $ 2^{n-3} $..
Se le cifre sono uguali passando da una potenza all'altra il resto della divisione per 3 dovrebbe rimanere invariato..
Allora se passo da $ 2^{n-3} $ a $ 2^n $ devo moltiplicare per 8 che è congruo a 2 (mod 3).. Quindi se il numero di partenza era congruo a 1 ottengo un numero congruo a 2 e se era congruo a 2 ne ottengo uno congruo a 1 (una potenza di due ovviamente non può essere congrua a 0, quindi il caso lo escludo a priori).
Se passo da $ 2^{n-2} $ a $ 2^{n} $ devo moltiplicare per 4.. Allora stavolta uso il modulo 9 e i possibili resti che possono dare le potenze di 2 sono (1,2,4,8,7,5).. Noto che se $ 2^{n-2} $ da uno di quei resti, moltiplicato per 4 da un altro resto.. Quindi anche questo passaggio è impossibile..
Ora passo da $ 2^{n-1} $ a $ 2^{n} $.. Moltiplicando per 2 (ora modulo 3), se il resto era 1 diventa 2, se era 2 diventa 1, quindi è impossibile.. Insomma se non ho cannato qualcosa la risposta è no.
Re: Potenze di 2
Va bene. La mia soluzione era uguale alla tua solo che analizzo sempre la somma delle cifre ma modulo 9.
Re: Potenze di 2
o anche, l'ultima cifra è 2,4,8,6.
Re: Potenze di 2
Ehm... l'idea dell'esercizio è che puoi cambiare l'ordine delle cifre.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Re: Potenze di 2
questo succede quando non si pensa. epic fail.
Re: Potenze di 2
Un'idea alternativa (non poi così tanto, dato che si usa sempre mod 9) è dimostrare che $9\nmid 2^x-2^y$ con $0\leq x-y\leq 4$
Infatti se, per esempio $2^x=100a+10b+c$ allora uno dei possibili $2^y$ è $100c+10a+b$ e dunque la differenza è $90a+9b-99c$
In generale, facendo la differenza di due numeri che hanno le stesse cifre, si ottiene un numero divisibile per 3 (o 9)
E se si dimostra che 9 non divide una differenza, allora i due numeri non hanno le stesse cifre!
Infatti se, per esempio $2^x=100a+10b+c$ allora uno dei possibili $2^y$ è $100c+10a+b$ e dunque la differenza è $90a+9b-99c$
In generale, facendo la differenza di due numeri che hanno le stesse cifre, si ottiene un numero divisibile per 3 (o 9)
E se si dimostra che 9 non divide una differenza, allora i due numeri non hanno le stesse cifre!
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)