Gara Provinciale 2011 Quesito n°4 e estensione

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Avatar utente
fermattamref
Messaggi: 8
Iscritto il: 17 ott 2011, 16:00

Gara Provinciale 2011 Quesito n°4 e estensione

Messaggio da fermattamref » 17 ott 2011, 17:13

Il quesito originale è il seguente: Quanti sono i numeri primi che possono essere espressi nella forma n^(n+1) +1, con n intero positivo?
Risposta: solo uno (in entrambi i sensi :D )

La mia domanda è: nel caso di n pari perchè (n+1) divide (n^(n+1) +1)? ovvero perchè (2t+1) divide ((2t)^(2t+1)+1) per ogni t naturale?

Estensione:è vero anche che (2t+1)^2 divide ((2t)^(2t+1)+1) per ogni t naturale ??

Avatar utente
Drago96
Messaggi: 1144
Iscritto il: 14 mar 2011, 16:57
Località: Provincia di Torino
Contatta:

Re: Gara Provinciale 2011 Quesito n°4 e estensione

Messaggio da Drago96 » 17 ott 2011, 17:49

Passi solo perchè sei nuovo... :P
Comunque usa il $\LaTeX$ ! :D (click!)

Te li ho riscritti io per bene...
Q. originale: Quanti sono i numeri primi che possono essere espressi nella forma $n^{n+1}+1$, con n intero positivo?
Domanda 1: nel caso di n pari perchè $n+1\mid n^{n+1} +1$?
Estensione: $(2t+1)^2\mid (2t)^{2t+1}+1 \ \forall t\in\mathbb N$ ?

Risposta alla domanda 1: $n^{n+1}+1\equiv (-1)^{n+1}+1\pmod{n+1}$ ; e siccome $n$ è pari, quel -1 viene elevato ad un numero dispari, dunque rimane -1 e ovviamente $-1+1=0$ ;)

All'estensione ci penso un po'... xD
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)

Avatar utente
Karl Zsigmondy
Messaggi: 138
Iscritto il: 09 lug 2011, 14:32
Località: Città di Altrove, Kansas

Re: Gara Provinciale 2011 Quesito n°4 e estensione

Messaggio da Karl Zsigmondy » 17 ott 2011, 19:47

Estensione. Sia p primo tale che p divide 2t+1 con esponente k. Abbiamo che:
$ V_p((2t+1)^2)=2k $
$ V_p((2t)^{2t+1}+1) = V_p(2t+1) + V_p(2t+1) = 2k $
Nella seconda ho applicato lifting the exponent (posso perché p è evidentemente dispari, perché p divide 2t+1 per ipotesi e perché l'esponente 2t+1 è dispari)
Quindi è vero che vale quella divisibilità.
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi."
"Life is very short and there's no time for fussing and fighting, my friend!"

Avatar utente
fermattamref
Messaggi: 8
Iscritto il: 17 ott 2011, 16:00

Re: Gara Provinciale 2011 Quesito n°4 e estensione

Messaggio da fermattamref » 17 ott 2011, 20:30

Karl Zsigmondy ha scritto:Estensione. Sia p primo tale che p divide 2t+1 con esponente k. Abbiamo che:
$ V_p((2t+1)^2)=2k $
$ V_p((2t)^{2t+1}+1) = V_p(2t+1) + V_p(2t+1) = 2k $
Nella seconda ho applicato lifting the exponent (posso perché p è evidentemente dispari, perché p divide 2t+1 per ipotesi e perché l'esponente 2t+1 è dispari)
Quindi è vero che vale quella divisibilità.
Scusa la mia ignoranza ma potresti chiarire meglio la spiegazione.Cosa significa $ V_p(....) $?
Grazie :)

NoAnni
Messaggi: 215
Iscritto il: 12 feb 2011, 14:32
Località: Roma

Re: Gara Provinciale 2011 Quesito n°4 e estensione

Messaggio da NoAnni » 17 ott 2011, 20:39

fermattamref ha scritto:
Karl Zsigmondy ha scritto:Estensione. Sia p primo tale che p divide 2t+1 con esponente k. Abbiamo che:
$ V_p((2t+1)^2)=2k $
$ V_p((2t)^{2t+1}+1) = V_p(2t+1) + V_p(2t+1) = 2k $
Nella seconda ho applicato lifting the exponent (posso perché p è evidentemente dispari, perché p divide 2t+1 per ipotesi e perché l'esponente 2t+1 è dispari)
Quindi è vero che vale quella divisibilità.
Scusa la mia ignoranza ma potresti chiarire meglio la spiegazione.Cosa significa $ V_p(....) $?
Grazie :)
Valutazione p-adica. $V_p(n)=$ l'esponente con cui compare p nella fattorizzazione di n.
Esempi $V_2(26)=1$
$V_3(26)=0$
$V_2(68)=2$
"Problem solving can be learned only by solving problems"

Avatar utente
Drago96
Messaggi: 1144
Iscritto il: 14 mar 2011, 16:57
Località: Provincia di Torino
Contatta:

Re: Gara Provinciale 2011 Quesito n°4 e estensione

Messaggio da Drago96 » 17 ott 2011, 20:50

E io aggiungerei anche una dispensa su LTE ;)

(io me l'ero quasi dimenticato...)
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)

Rispondi