110. Che simpatica successione!

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Karl Zsigmondy
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110. Che simpatica successione!

Messaggio da Karl Zsigmondy » 05 ott 2011, 12:28

Data la successione degli $ a_i $ tale che $ a_0=0, \ a_1 = 1, \ a_{n+2} = 2a_{n+1}-pa_n \forall \ n \in \mathbb{N} $, trovare tutti i valori di p (intero positivo primo) per cui $ \exists \ m \in \mathbb{N} : a_m=-1 $.
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi."
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Karl Zsigmondy
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Re: 110. Che simpatica successione!

Messaggio da Karl Zsigmondy » 08 ott 2011, 14:09

Sono passati 3 giorni e nessuno ha messo una soluzione, quindi ecco un hint leggero.
Testo nascosto:
Bisogna fare delle considerazioni sulla successione modulo p e p-1
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balossino
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Re: 110. Che simpatica successione!

Messaggio da balossino » 08 ott 2011, 15:12

Karl Zsigmondy ha scritto:$ \exists \ m \in \mathbb{N} : a_m=-1 $.
Perdona la mia ignoranza ma mi servono delucidazioni sul simbolismo :oops:
Ultima modifica di balossino il 08 ott 2011, 15:19, modificato 1 volta in totale.

stergiosss
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Re: 110. Che simpatica successione!

Messaggio da stergiosss » 08 ott 2011, 15:18

balossino ha scritto:
Karl Zsigmondy ha scritto:$ \exists \ m \in \mathbb{N} : a_m=-1 $.
Perdona la mia ignoranza, mi servono delucidazioni sul significato di questo simbolismo :oops:

Esiste un numero naturale $m$ tale che $a_m = -1$


Comunque: alla faccia dell'hint "leggero", basta e avanza per distruggere il problema :P

stergiosss
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Re: 110. Che simpatica successione!

Messaggio da stergiosss » 10 ott 2011, 15:11

Be'? Nessuno?

Con l'hint è piuttosto facile.. :idea:


Se domani non risponde nessuno lo risolvo io e poi metto come nuovo problema quello sulla densità di $\frac{p}{q}$ che ho uppato :twisted:

Mist
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Re: 110. Che simpatica successione!

Messaggio da Mist » 10 ott 2011, 15:58

nessuno risponde perchè con l'hint è immediato :/ e non mettere come problema della staffetta il problema postato da un altro (soprattutto se questo qualcun'altro è jordan XD) perfavore, dai, basta che ne raccatti uno da un cese o da un imo...
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jordan
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Re: 110. Che simpatica successione!

Messaggio da jordan » 01 nov 2011, 07:41

Se nessuno risponde pregherei di postare la soluzione e di sostituirlo con uno nuovo (se vuoi sostuirlo con p/q denso in R fai pure, a patto che conosci la soluzione..)
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jordan
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Re: 110. Che simpatica successione!

Messaggio da jordan » 02 nov 2011, 10:32

Karl Zsigmondy ha scritto:Data la successione degli $ a_i $ tale che $ a_0=0, \ a_1 = 1, \ a_{n+2} = 2a_{n+1}-pa_n \forall \ n \in \mathbb{N} $, trovare tutti i valori di p (intero positivo primo) per cui $ \exists \ m \in \mathbb{N} : a_m=-1 $.
Se $p=2$ allora $2\mid a_i$ per ogni $i>0$. In $\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$ vale $a_n=n$, per cui se $a_m=-1$ allora esiste $t>0$ tale che $m=t(p-1)-1$. In $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ vale $a_n=2^{n-1}$, per cui se fosse $-1=a_m=a_{t(p-1)-1}$ $=2^{t(p-1)-2}=2^{-2}$ deve valere $p=5$ (e in effetti se $p=5$ allora $a_4=-1$). []

Tanto per info, vale anche $\displaystyle a_n=\sin(n\theta)\sqrt{\frac{p^n}{p-1}}$, dove $\theta =\text{artan}(\sqrt{p-1})\in (0,\pi)$.
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