107. Una somma insolita

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Karl Zsigmondy
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Re: 107. Una somma insolita

Messaggio da Karl Zsigmondy » 28 set 2011, 19:59

No, il risultato di quella somma infinita intendevo... quella dei divisori è l'hint praticamente.
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<enigma>
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Re: 107. Una somma insolita

Messaggio da <enigma> » 28 set 2011, 20:18

Se è solo per questo si induce facilmente su $2-\frac 1 n$. Per quanto riguarda la somma infinita in effetti non è così facile, ma se serve (soprattutto a Drago96) si può guardare qui.
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Drago96
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Re: 107. Una somma insolita

Messaggio da Drago96 » 28 set 2011, 20:52

Intendi dire questo?
$\displaystyle{n\cdot\sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 {i^2}=n\cdot\frac{\pi^2} 6}$

Spero di sbagliarmi, perchè mi sa che è un po' troppo chiedere una dimostrazione fatta da Eulero ad un ragazzo di seconda! :lol:

P.S: enigma, non capisco cosa vuoi dimostrare con $2-\frac 1 n$ :?
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Re: 107. Una somma insolita

Messaggio da Karl Zsigmondy » 29 set 2011, 19:14

Drago96 ha scritto:Intendi dire questo?
$\displaystyle{n\cdot\sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 {i^2}=n\cdot\frac{\pi^2} 6}$

Spero di sbagliarmi, perchè mi sa che è un po' troppo chiedere una dimostrazione fatta da Eulero ad un ragazzo di seconda! :lol:

P.S: enigma, non capisco cosa vuoi dimostrare con $2-\frac 1 n$ :?
Appunto, era quasi un consiglio. Sarebbe stato meglio se lo avessi dimostrato per induzione con 2-1/n magari... o qualcosa del genere... dato che quella formula non la sai dimostrare. Tutto qui.
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Re: 107. Una somma insolita

Messaggio da Drago96 » 29 set 2011, 20:15

Mmm... Come faccio ad usare l'induzione su numeri non interi? :?

Se qualcuno ci arriva prima di me, gli lascio il testimone, dato che in un certo senso ho un po' "barato" :)
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Re: 107. Una somma insolita

Messaggio da Mist » 29 set 2011, 21:03

Non serve nemmeno l'induzione...
Testo nascosto:
Prova a dire che $\displaystyle \sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k^2}$ è minore di una certa somma, che magari si telescopizza, che magari è caruccia e "celebre", dove per "celebre" si intende più famosa di molti link di enigma e meno famosa (per quanto ne sappia) della risoluzione del problema di basilea... Magari qualcosa che hai guardato un tempo quando stavi scoprendo cos'è una serie telescopica :D

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Re: 107. Una somma insolita

Messaggio da Hawk » 29 set 2011, 21:46

Boh, scrivo quello che ho fatto.
Passo base:
$ 1 \leq 1 $

Ipotesi induttiva:
$ 1)\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^2} \leq 2-\displaystyle\frac{1}{n} $

Dimostriamo che la tesi è vera per $ n+1 $.
$ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^2}+\displaystyle\frac{1}{(n+1)^2} \leq 2-\displaystyle\frac{1}{n+1} $
Adesso sottraggo la 1) che sò vera ed otteniamo:
$ \displaystyle\frac{1}{(n+1)^2} \leq \displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+1} $
Da cui otteniamo:
$ \displaystyle\frac{1}{(n+1)^2} \leq \displaystyle\frac{1}{n(n+1)} $
che è sempre vera siccome $ n\in\mathbb N $
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Re: 107. Una somma insolita

Messaggio da Drago96 » 29 set 2011, 21:51

Lemma: $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2}\leq2-\frac 1 n}$
Dimostrazione:
Per $n=1$ è vero;
Suppongo vero per $n$ e riscrivo con $n+1$ : $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} + \frac{1}{(n+1)^2}\leq 2-\frac 1 {n+1}}$ (1)
A (1) sottraggo l'ipotesi induttiva, ottenendo $\displaystyle{\frac{1}{(n+1)^2}\leq\frac 1 n -\frac 1 {n+1}}$ . Moltiplicando per $n+1$ ottengo $\displaystyle{\frac{1}{n+1}\leq\frac 1 n}$ che è sempre vera, essendo in $\mathbb N$

Ora, mi basta dire che sicuramente $2-\frac 1 n<2$ e dunque moltiplicando tutto per $n$ ottengo quello che l'esercizio chiedeva, ovvero $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac n {i^2}\leq 2n}$

EDIT: Acc... anticipato di un attimo... :cry:
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Re: 107. Una somma insolita

Messaggio da Hawk » 29 set 2011, 21:55

Comuque, posti lo stesso tu il problema della staffetta perchè hai risolto quello attuale.
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Re: 107. Una somma insolita

Messaggio da Drago96 » 30 set 2011, 15:01

Ecco il nuovo problema: viewtopic.php?f=15&t=16368
:)
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