107. Una somma insolita

[Karl Zsigmondy]

No, il risultato di quella somma infinita intendevo... quella dei divisori è l'hint praticamente.

[<enigma>]

Se è solo per questo si induce facilmente su $2-\frac 1 n$. Per quanto riguarda la somma infinita in effetti non è così facile, ma se serve (soprattutto a Drago96) si può guardare qui.

[Drago96]

Intendi dire questo?
$\displaystyle{n\cdot\sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 {i^2}=n\cdot\frac{\pi^2} 6}$

Spero di sbagliarmi, perchè mi sa che è un po' troppo chiedere una dimostrazione fatta da Eulero ad un ragazzo di seconda!

P.S: enigma, non capisco cosa vuoi dimostrare con $2-\frac 1 n$

[Karl Zsigmondy]

Intendi dire questo?
$\displaystyle{n\cdot\sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 {i^2}=n\cdot\frac{\pi^2} 6}$

Spero di sbagliarmi, perchè mi sa che è un po' troppo chiedere una dimostrazione fatta da Eulero ad un ragazzo di seconda!

P.S: enigma, non capisco cosa vuoi dimostrare con $2-\frac 1 n$

Appunto, era quasi un consiglio. Sarebbe stato meglio se lo avessi dimostrato per induzione con 2-1/n magari... o qualcosa del genere... dato che quella formula non la sai dimostrare. Tutto qui.

[Drago96]

Mmm... Come faccio ad usare l'induzione su numeri non interi?

Se qualcuno ci arriva prima di me, gli lascio il testimone, dato che in un certo senso ho un po' "barato"

[Mist]

Non serve nemmeno l'induzione...

Testo nascosto:

Prova a dire che $\displaystyle \sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k^2}$ è minore di una certa somma, che magari si telescopizza, che magari è caruccia e "celebre", dove per "celebre" si intende più famosa di molti link di enigma e meno famosa (per quanto ne sappia) della risoluzione del problema di basilea... Magari qualcosa che hai guardato un tempo quando stavi scoprendo cos'è una serie telescopica

Le mie figuracce non me le dimentico mai

[Hawk]

Boh, scrivo quello che ho fatto.
Passo base:
$ 1 \leq 1 $

Ipotesi induttiva:
$ 1)\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^2} \leq 2-\displaystyle\frac{1}{n} $

Dimostriamo che la tesi è vera per $ n+1 $.
$ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^2}+\displaystyle\frac{1}{(n+1)^2} \leq 2-\displaystyle\frac{1}{n+1} $
Adesso sottraggo la 1) che sò vera ed otteniamo:
$ \displaystyle\frac{1}{(n+1)^2} \leq \displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+1} $
Da cui otteniamo:
$ \displaystyle\frac{1}{(n+1)^2} \leq \displaystyle\frac{1}{n(n+1)} $
che è sempre vera siccome $ n\in\mathbb N $

[Drago96]

Lemma: $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2}\leq2-\frac 1 n}$
Dimostrazione:
Per $n=1$ è vero;
Suppongo vero per $n$ e riscrivo con $n+1$ : $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} + \frac{1}{(n+1)^2}\leq 2-\frac 1 {n+1}}$ (1)
A (1) sottraggo l'ipotesi induttiva, ottenendo $\displaystyle{\frac{1}{(n+1)^2}\leq\frac 1 n -\frac 1 {n+1}}$ . Moltiplicando per $n+1$ ottengo $\displaystyle{\frac{1}{n+1}\leq\frac 1 n}$ che è sempre vera, essendo in $\mathbb N$

Ora, mi basta dire che sicuramente $2-\frac 1 n<2$ e dunque moltiplicando tutto per $n$ ottengo quello che l'esercizio chiedeva, ovvero $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac n {i^2}\leq 2n}$

EDIT: Acc... anticipato di un attimo...

[Hawk]

Comuque, posti lo stesso tu il problema della staffetta perchè hai risolto quello attuale.

[Drago96]

Ecco il nuovo problema: viewtopic.php?f=15&t=16368