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Trovare tutte le soluzioni intere dell'equazione:

$ x^2-y^2-y-3y^2+2xy+x+x^2=0 $

Molto semplice

almeno scrivila già sommata!
$ 2x^2-y-4y^2+2xy+x=0 $

non sono bravo a scomporre ma dovrebbe funzionare
$ x^2-y^2-y-3y^2+2xy+x+x^2=0 $
$ (x+y)(x-y)+x-y-4y^2+y^2+2xy+x^2=0 $
$ (x-y)(x+y+1)+(x+y)^2-4y^2=0 $
$ (x-y)(x+y+1)+(x-y)(x+3y)=0 $
$ (x-y)(x+y+1+x+3y)=0 $
1) $ x=y $
2) $ 2x+4y+1=0 $ che modulo 2 é impossibile

Scompongo l'equazione ed ottengo:

$ 2(x-y)(x+\frac{4y+1}{2})=0 $

Per la legge dell'annullamento del prodotto, almeno uno tra i 3 fattori deve essere uguale a zero.
Quindi tutte le soluzioni sono date date:

per ogni $ x=y $ dove ovviamente $ (x,y)\in \mathbb{N}^2 $, uguagliando invece: $ (x+\frac{4y+1}{2})=0 $
otterremmo come soluzione $ x+2y=-\frac{1}{2}=>(x,y)\not \in \mathbb{N}^2 $

Edit: anticipato di un nanosecondo.

sono veramente scarso.. come hai fatto a scomporre in quel modo?

Uguale al tuo modo soltanto che $ 2x+4y+1 $ ho raccolto il fattore due, nulla di speciale, anzi quasi inutile. La tua soluzione che sfrutta i moduli delle congruenze è molto più olimpica della mia, che si basa, invece, semplicemente sulla somma di naturali.

Perfetta, era sono raccoglimento in fondo