105. ijk non e' mai quadrato

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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105. ijk non e' mai quadrato

Messaggio da jordan » 19 set 2011, 23:29

Sia M un sottoinsieme di {1,2,3,...,15}. Trovare quanto vale al massimo |M|, se per ogni i,j,k distinti in M il prodotto ijk non e' un quadrato.
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amatrix92
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Re: 105. ijk non e' mai quadrato

Messaggio da amatrix92 » 20 set 2011, 14:38

$ |M=12| : M = \{ 4,5,...,14,15 \} $ .
1,4 e 9 sono già in se quadrati perfetti quindi tutti e 3 non possono coesistere nell'insieme. Leviamo l'1. Un possibile sottoinsieme M è quello formato da tutti i numeri primi più 4 e 9, in questo caso M ha 8 elementi (2,3,4,5,7,9,11,13 ) quindi $ |M| \geq 8 $. Scriviamo la scomposizione (non necessariamente in fattori primi) dei restanti numeri sapendo che non si può utilizzare un numero 2 volte:
$ 15=3 \cdot 5 $
$ 14 = 7 \cdot 2 $
$ 12 = 6 \cdot 2 = 3 \cdot 4 $
$ 10= 5\cdot 2 $
$ 8= 4 \cdot 2 $
$ 6= 3 \cdot 2 $ .

Per poter fare un quadrato , per esempio con 14 è necessario che ci siano sia il 7 che il 2 ,e solo con questi due chiaramente può fare un quadrato. Lo stesso vale con gli altri numeri composti. Notiamo che se leviamo il 2, ben 4 numeri (6,8,10, 14 ) non potranno più formare un quadrato. Quindi dal sottoinsieme precedente leviamo il 2 e aggiungiamo i 4 numeri prima indicati. Inoltre facciamo la stessa cosa con il 3: levandolo dal sottoinsieme è possibile aggiungervi 2 numeri (15 e 12, quest'ultimo perchè abbiamo levato anche il 2). il sottoinsisme cercato ha cardinalità 12.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Re: 105. ijk non e' mai quadrato

Messaggio da ant.py » 20 set 2011, 15:13

scusa prima non avevo letto la tua risposta :)

cmq se ho capito bene per M intendi 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15..

come controesempi però ci sono (5,8,10), (5,12,15),(6,8,12),(7,8,14) ecc

io avevo pensato $|M| = 9 $, cioè $ M=[2,3,4,7,9,10,11,13,15]$ però non so se ce ne sono altri con cardinalità maggiore..
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Re: 105. ijk non e' mai quadrato

Messaggio da jordan » 20 set 2011, 22:29

difatti, esistono controesempi all'esempio di amatrix92.. try again :)
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sasha™
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Re: 105. ijk non e' mai quadrato

Messaggio da sasha™ » 20 set 2011, 23:50

Ok, proviamo. Tolgo i quadrati che non servono, dividendo. L'insieme diventa: ${1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 7, 11, 13, 2\cdot3, 2\cdot5, 2\cdot7, 3\cdot5}$
Le terne che danno quadrati sono $(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (2, 3, 6), (2, 5, 10), (2, 7, 14), (3, 5, 15)$ e basta.

A questo punto vedo che togliere $1, 2, 3, 8, 12$ restituisce un insieme funzionante. Direi che non si può migliorare, dovrei togliere troppa roba. Ma ho sonno per esserne certo.

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Re: 105. ijk non e' mai quadrato

Messaggio da exodd » 21 set 2011, 00:11

sasha™ ha scritto:Ok, proviamo. Tolgo i quadrati che non servono, dividendo. L'insieme diventa: ${1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 7, 11, 13, 2\cdot3, 2\cdot5, 2\cdot7, 3\cdot5}$
Le terne che danno quadrati sono $(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (2, 3, 6), (2, 5, 10), (2, 7, 14), (3, 5, 15)$ e basta.

A questo punto vedo che togliere $1, 2, 3, 8, 12$ restituisce un insieme funzionante. Direi che non si può migliorare, dovrei togliere troppa roba. Ma ho sonno per esserne certo.
(10,15,6) ammazza l'insieme senza 1,2,3,8,12
Ultima modifica di exodd il 21 set 2011, 00:27, modificato 1 volta in totale.
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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Re: 105. ijk non e' mai quadrato

Messaggio da exodd » 21 set 2011, 00:20

(14 7 8 )
(5 15 3)
(1 4 9)
(2 6 12)

Queste quattro triple sono disgiunte, quindi bisogna togliere almeno quattro numeri, e la cardinalità di M è quindi compresa tra 11 e 9.. Secondo me basta trovare un esempio con 11..
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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Re: 105. ijk non e' mai quadrato

Messaggio da jordan » 21 set 2011, 01:46

exodd ha scritto:(14 7 8 )
(5 15 3)
(1 4 9)
(2 6 12)

Queste quattro triple sono disgiunte, quindi bisogna togliere almeno quattro numeri, e la cardinalità di M è quindi compresa tra 11 e 9.. Secondo me basta trovare un esempio con 11..
Adesso va già meglio :)
Chi va avanti?
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Re: 105. ijk non e' mai quadrato

Messaggio da exodd » 21 set 2011, 11:27

Ok, risolto..
Esistono 6 insiemi M di cardinalità 10 che vanno bene
Un esempio è

$ M = [4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14] $

Non ne esistono di cardinalità maggiori

La mia dimostrazione è a casi, quindi vorrei vedere se qualcuno ha una soluzione elegante prima..
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
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Re: 105. ijk non e' mai quadrato

Messaggio da sasha™ » 21 set 2011, 11:45

exodd ha scritto:(10,15,6) ammazza l'insieme senza 1,2,3,8,12
L'ho scritto ieri a mezzanotte, chiedo venia. :lol:

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Re: 105. ijk non e' mai quadrato

Messaggio da paga92aren » 21 set 2011, 21:22

Dimostro che il massimo è 10:
Divido in 2 casi:
1) M non contiene quadrati, quindi viste le terne (2,6,12), (7,14,8) e (5,15,3) devo togliere altri 3 numeri e M ha cardinalità minore di 10.
2) M contiene quadrati, date le terne ([],2,8) e ([],3,12) devo togliere 2 numeri (wlog 8 e 12). Infine date le terne (7,14,2), (5,15,3) e (1,4,9) devo eliminare altri 3 numeri e M ha cardinalità massima 10.

Dato che non ho fatto altro che copiare e assemblare le idee precedenti, lascio a Exodd l'onore e l'onere di postare il prossimo problema.

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Re: 105. ijk non e' mai quadrato

Messaggio da exodd » 22 set 2011, 00:35

... Non mi ero reso conto che era un problema della staffetta ... :roll:
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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Re: 105. ijk non e' mai quadrato

Messaggio da exodd » 23 set 2011, 13:46

Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
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