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$q=2p+1|2^{2p}-1=(2^p-1)(2^p+1)$ e dato che $q$ è primo mi basta dimostrare che non divide il secondo fattore.
Suppongo per assurdo che $q|2^p+1$ quindi $2^p\equiv -1(q)$ e di conseguenza ord $_q(2)|2p$.
1) se l'ordine è 1 o 2 allora $4\equiv 1 (q)$ quindi $q=3$ e $p=1$ ma sapendo che $p\equiv 3 (4)$ trovo l'assurdo
2) se l'ordine è $p$ allora $2^p\equiv 1(q)$ ma sapevamo che $2^p\equiv -1(q)$ e ottengo l'assurdo.
3) l'ordine è $2p$ allora 2 è un generatore modulo $q$. Posso quindi scrivere $p=2^x$ per $x$ opportuno.

Inoltre so che $(2p+1,2^p+1)=(2^{p-1}-p,2p+1)=(2^{p-2}+p^2,2p+1)=...=(p^p-1,2p+1)$ quindi $p^p\equiv 1 (q)$, sostituendo quanto detto sopra ottengo $0\equiv 2^p+p^p \equiv 2^{px}+2^p \equiv 2^p(2^{p(x-1)}+1(q)$ sapendo che $(2,q)=1$ si ottiene che $2^{p(x-1)}\equiv -1(q)$ da cui si deduce che $x-1$ è dispari (l'ordine di 2 è $2p$) quindi $x$ è pari e $p$ residuo quadratico modulo $q$.

Essendo $(\frac{2p+1}{p})=(\frac{1}{p})=1$ e usando la reciprocità quadratica $(\frac{p}{q})(\frac{q}{p})=-1$ si ottiene che $p$ non è un residuo quadratico modulo $q$. Assurdo.