Diofantea da Cesenatico e oltre
Diofantea da Cesenatico e oltre
Prendo spunto da Cesenatico 2011, per proporvi una diofantea simile inventata da me, ma ancora più difficile
Trovare le soluzioni intere, dell'equazione:
$ x^3=y^2-y-64 $
E' abbastanza carina
Trovare le soluzioni intere, dell'equazione:
$ x^3=y^2-y-64 $
E' abbastanza carina
Re: Diofantea da Cesenatico e oltre
PIU' difficile di quella di Cesenatico??? ...mollata.
Re: Diofantea da Cesenatico e oltre
Il procedimento è più o meno quello, ma è simile ad una curva di mordell, non riesco a dimostrare il limite delle soluzioni. Comunque le soluzioni facili ci sono e sono alla portata di tutti
Re: Diofantea da Cesenatico e oltre
è abbastanza evidente che $2\mid x$ e quindi posto $x=2\alpha$ si ha cheLeZ ha scritto:Prendo spunto da Cesenatico 2011, per proporvi una diofantea simile inventata da me, ma ancora più difficile :D
Trovare le soluzioni intere, dell'equazione:
$ x^3=y^2-y-64 $
E' abbastanza carina :D
$$2^3\alpha ^3 = y^2-y-2^6$$
Moltiplico ambo i membri per $2^2$ e ottengo
$$2^5\alpha ^3= (2y-1)^2-1-2^8$$
Moltiplico per $2^4$ e ottengo che
$$2^9\alpha^3 = (2y-1)^2\cdot 2^4 -2^4-2^{12}$$
Posto quindi $\mu=2^3\alpha=2^2x$ e $j=2^2(2y-1)$ ottengo
$$\mu ^3= j^2-2^4-2^{12} = j^2-4112$$
Ora, secondo questo le soluzioni intere sono all'ultima equazione scritta sono:
- $(\mu , j)=(64, \pm516) $
- $(\mu ,j)=(-8, \pm 60) $
- $(\mu ,j) =(8, \pm 68)$
- $(\mu ,j) =(17, \pm 95) $
- $(\mu ,j) =(15992,\pm 2022340) $
- $(\mu ,j) =(88,\pm 828) $
- $(\mu ,j)=(-16,\pm 4)$
- $(\mu ,j)=(73,\pm 627) $
- $(\mu , j)= (2984,\pm 163004)$
- $(\mu ,j)= (9248,\pm 889348)$
$$\begin{matrix}\cases{ \mu = 4x \\ j=4(2y-1)}\end{matrix}$$
si arriva a concludere che le uniche soluzioni della equazione originaria sono:
$(x,y)=(16, 65), (-2, 8),(2, 9),(3998, 252793),(22, 104),(-4, 1),(16, -64),(-2, -7),(2, -8),(3998, -252792),(22, -103),(-4, 0)$
$(746,20376),(746,-20375),(2312,111169),(2312,-111168)$
:D 'nzommaLeZ ha scritto:E' abbastanza carina :D
Ultima modifica di Mist il 09 set 2011, 11:11, modificato 1 volta in totale.
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Diofantea da Cesenatico e oltre
Dai era carina
Cmq credo sia $ (22,-103) , (22,104) $
Per il resto complimenti, hai trovate tutte quelle che ho trovato io
Cmq credo sia $ (22,-103) , (22,104) $
Per il resto complimenti, hai trovate tutte quelle che ho trovato io
Re: Diofantea da Cesenatico e oltre
Senza quel link, ad ogni modo, sarebbe stato impossibile risolverla nel tuo modo.
Re: Diofantea da Cesenatico e oltre
Infatti, per questo ho detto che non è carina, anche perchè non credo esista un altro modo per trovare certe soluzioni tipo $(2312,-111168)$ in modo... decente, senza passare dall'equazione che porta al link
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Diofantea da Cesenatico e oltre
Perchè inventare problemi del genere e proporli senza avere una soluzione quando ci sono miliardi di problemi stupendi con soluzioni strettamente olimpiche?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Diofantea da Cesenatico e oltre
Soluzione strettamente olimpica:
Prendiamo l'equazione scritta meglio: $ (x+4)(x^2+16-4x)=y(y-1) $
Ora analizziamo il caso in cui $ x+4\mid y-1 \rightarrow y\mid x^2-4x+16: $
Meglio scritte come $ {y-1\over x+4} = k $ con k reale, e $ {x^2+16-4x\over y} =k $; Dalla prima $ y=kx+4x+1 $; sostituiamo y nella seconda e otteniamo l'equazione parametrica:
$ x^2-x(k^2+4)+(16-4k^2-k)=0 $
$ \Delta = k^4+24k^2-4k-64 $; posso riscriverla come, $ (k^2+12)^2-144-64+4k $; sicuramente è un quadrato per $ k=48 $.
$ x_1={4+48^2+48^2+12\over 2} = 2312. $
$ x_2={4+48^2-48^2-12\over 2}= -4. $
Ovviamente le altre soluzioni si trovano usando la stessa tecnica.
Prendiamo l'equazione scritta meglio: $ (x+4)(x^2+16-4x)=y(y-1) $
Ora analizziamo il caso in cui $ x+4\mid y-1 \rightarrow y\mid x^2-4x+16: $
Meglio scritte come $ {y-1\over x+4} = k $ con k reale, e $ {x^2+16-4x\over y} =k $; Dalla prima $ y=kx+4x+1 $; sostituiamo y nella seconda e otteniamo l'equazione parametrica:
$ x^2-x(k^2+4)+(16-4k^2-k)=0 $
$ \Delta = k^4+24k^2-4k-64 $; posso riscriverla come, $ (k^2+12)^2-144-64+4k $; sicuramente è un quadrato per $ k=48 $.
$ x_1={4+48^2+48^2+12\over 2} = 2312. $
$ x_2={4+48^2-48^2-12\over 2}= -4. $
Ovviamente le altre soluzioni si trovano usando la stessa tecnica.
Re: Diofantea da Cesenatico e oltre
Col tuo metodo arrivi ad analizzare solo alcuni casi, perchè escludi quelli in cui $x+4$ è frutto del prodotto di un po' di fattori di $y$ e un po' di fattori di $y-1$. E poi francamente resta comunque un problema non olimpico, perchè mai e poi mai troverai ad una gara credo una diofantea che richiede calcoli grossi per essere risolta (finchè si trovano soluzioni come le tue ok, ma guarda un po' quelle più grandi che ho trovato io )... Insomma, concordo con jordanLeZ ha scritto:Soluzione strettamente olimpica:
Prendiamo l'equazione scritta meglio: $ (x+4)(x^2+16-4x)=y(y-1) $
Ora analizziamo il caso in cui $ x+4\mid y-1 \rightarrow y\mid x^2-4x+16: $
Meglio scritte come $ {y-1\over x+4} = k $ con k reale, e $ {x^2+16-4x\over y} =k $; Dalla prima $ y=kx+4x+1 $; sostituiamo y nella seconda e otteniamo l'equazione parametrica:
$ x^2-x(k^2+4)+(16-4k^2-k)=0 $
$ \Delta = k^4+24k^2-4k-64 $; posso riscriverla come, $ (k^2+12)^2-144-64+4k $; sicuramente è un quadrato per $ k=48 $.
$ x_1={4+48^2+48^2+12\over 2} = 2312. $
$ x_2={4+48^2-48^2-12\over 2}= -4. $
Ovviamente le altre soluzioni si trovano usando la stessa tecnica.
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Diofantea da Cesenatico e oltre
Ma certo, finchè invento cosi come vengono non le troveremo a Cesenatico!
E non sono molto utili tra l'altro, ma volendo, se ci si cimenta, le soluzioni si trovano! Il procedimento è comunque abbastanza standard, lo stesso trovato a cesenatico 2011. Per questo l'ho scritta
E non sono molto utili tra l'altro, ma volendo, se ci si cimenta, le soluzioni si trovano! Il procedimento è comunque abbastanza standard, lo stesso trovato a cesenatico 2011. Per questo l'ho scritta
Re: Diofantea da Cesenatico e oltre
Ah, se questo tu lo chiami "standard"..
The only goal of science is the honor of the human spirit.