$y^2+y=x^4+x^3+x^2+x$

[LeZ]

Allora io posso costruirlo, ma non mi è utile ai fini risolutivi perchè tralascia le non banali, cioè non è sbagliato, ma in questo caso è inutile
Ora provo a ragionare sui tuoi aiuti e vediamo che viene fuori.

[stergiosss]

Risolvo preliminarmente un paio di casi per $|x|$ piccolo:
$ \displaystyle x = -1 \vee x = 0 \Rightarrow y(y+1) = 0 \Rightarrow y = -1 \vee y = 0 $
$ \displaystyle x = 1 \Rightarrow y(y+1) = 4 \Rightarrow \nexists sol. $
$ \displaystyle x = 2 \Rightarrow y(y+1) = 30 \Rightarrow y = -6 \vee y = 5 $

Posso dunque assumere, di qui in avanti $ x \lt -1 \vee x \gt 2 $
Divido in due sotto casi:

• $x$ pari
  Pongo $ \displaystyle x^2 + \frac{x}{2} = a \in \mathbb{Z} $
  Allora $ \displaystyle x^4+x^3+x^2+x = (a-1)^2 + (a-1) + \frac{7}{4}x^2 + \frac{3}{2}x = a^2 + a - (\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x) $
  Ma $ \forall x \lt -1 \vee x \gt 2 $ si ha $ \displaystyle \frac{7}{4}x^2 + \frac{3}{2}x \gt 0 $ e $ \displaystyle \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x \gt 0 $
  e quindi $ \displaystyle (a-1)^2 + (a-1) \lt x^4+x^3+x^2+x \lt a^2 + a $
  Quindi non esistono soluzioni per $ x \lt -1 \vee x \gt 2 $ con $ x $ pari
• $x$ dispari
  Pongo $ \displaystyle x^2 + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = a \in \mathbb{Z} $
  Allora $ \displaystyle x^4+x^3+x^2+x = (a-1)^2 + (a-1) + \frac{3}{4}x^2 + x + \frac{1}{4} = a^2 + a - (\frac{5}{4}x^2 + \frac{3}{4}) $
  Ma $ \forall x \lt -1 \vee x \gt 2 $ si ha $ \displaystyle \frac{3}{4}x^2 + x + \frac{1}{4} \gt 0 $ e $ \displaystyle \frac{5}{4}x^2 + \frac{3}{4} \gt 0 $
  e quindi $ \displaystyle (a-1)^2 + (a-1) \lt x^4+x^3+x^2+x \lt a^2 + a $
  Quindi non esistono soluzioni per $ x \lt -1 \vee x \gt 2 $ con $ x $ dispari

In definitiva, le uniche soluzioni si hanno per $ -1 \le x \le 2 $, e questi casi sono stati analizzati all'inizio, quindi le uniche soluzioni si hanno per
$ \displaystyle (x, y) \in \{ (-1, -1), (-1, 0), (0, -1), (0, 0), (2, -6), (2, 5) \} $

[Mist]

Ok, un altro modo per notare che $x$ può assumere solo quei valori, era questo:
$y^2+y = x^4+x^3+x^2+x \implies 4(y^2+y)+1 = 4(x^4+x^3+x^2+x)+1 \implies (2y+1)^2 = 4(x^4+x^3+x^2+x)+1$ ma il RHS è uguale sia a $(2x+x)^2+(3x+1)(x+1)$ che a $(2x^2+x+1)^2-x(x-2)$. Si riesce quindi a dimostrare che quel polinomio in x, che è uguale ad un quadrato, è compreso tra due quadrati che non sono consecutivi solo per alcuni valori di x, che sono quelli appunto citati da stergioss, a cui faccio i miei complimenti per la bella soluzione

[stergiosss]

stergioss, a cui faccio i miei complimenti per la bella soluzione

Grazie, ma senza il tuo Hintone della pagina prima non ci avrei mai pensato