La forma non cambia mai...

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Mist
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La forma non cambia mai...

Messaggio da Mist » 05 set 2011, 20:13

Dimostrare che:
  • Il prodotto di due numeri interi della forma $x^2+dy^2$ con $(x,y)\in \mathbb{N}^2$ e $d\in \mathbb{Z}$ è esprimibile in quello stesso modo... in altre parole, $(a^2+db^2)(x^2+dy^2) = u^2+dv^2$ ammette sempre soluzione in $u,v$ con $a,b,x,y$ scelti come parametri naturali.
  • Il prodotto di due numeri interi della forma $a^2+ab+b^2$ con $(a,b)\in \mathbb{N}^2$ è esprimibile in quello stesso modo... in altre parole, $(a^2+ab+b^2)(x^2+xy+y^2) = u^2+uv+v^2$ ammette sempre soluzione in $u,v$ con $a,b,x,y$ scelti come parametri naturali.
spero che si sia capito il testo, l'idea non è inutile e l'ho vista usare per la prima volta ad un cortona del 99, quindi è probabile che oggi sia a livello cesenatico... Buon lavoro !
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Re: La forma non cambia mai...

Messaggio da balossino » 05 set 2011, 20:22

Mist ha scritto: $(x,y)\in \mathbb{N}^2$ e $d\in \mathbb{Z}$
Intendi che x,y sono quadrati di numeri naturali o che lo sono i loro quadrati, cosicché x e y sono semplici naturali?

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Re: La forma non cambia mai...

Messaggio da Drago96 » 05 set 2011, 20:34

balossino ha scritto:
Mist ha scritto: $(x,y)\in \mathbb{N}^2$ e $d\in \mathbb{Z}$
Intendi che x,y sono quadrati di numeri naturali o che lo sono i loro quadrati, cosicché x e y sono semplici naturali?
No, semplicemente che sono naturali... ;)
Il quadro indica che è una coppia... :)
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Re: La forma non cambia mai...

Messaggio da patatone » 06 set 2011, 01:56

il primo è facile, viene $(ax+dby)^2+d(bx-ay)^2$.
Il secondo è impestato da far paura, giuro che ci ho messo un'ora per trovare una roba che funzionasse negli interi e un'altra ora per trovare una roba che andasse bene nei naturali, una faticaccia come poche :cry:
Alla fine il frutto del mio lavoro è questo:
$(by-ax)^2+(by-ax)(ay+ax+bx)+(ay+ax+bx)^2$ oppure
$(ax-by)^2+(ax-by)(bx+by+ay)+(bx+by+ay)^2$
a seconda che sia $by-ax$ maggiore o minore di zero.

Se devo dare la mia impressione il secondo punto mi sembra abbastanza difficile per essere un cesenatico,
e forse anche poco adatto come problema olimpico in generale come tipologia...
comunque giuro che quando finalmente ho trovato la soluzione ero veramente soddisfatto :D

EDIT:mi chiedevo se esiste una motivazione profonda per cui questa roba è vera, perchè visto cosi sembra come sempre un po' miracoloso... qualcuno esperto potrebbe illuminarmi a riguardo?????? :?:

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Re: La forma non cambia mai...

Messaggio da Mist » 06 set 2011, 09:52

:D sì, in effetti sembra un miracolo, queste cose o si dimostrano con le matrici o con i numeri complessi. per esempio, il primo o si dimostra applicando la regola per cui il determinante del prodotto di tue matrici è il prodotto dei determinanti delle matrici stesse, in particolare si osserva che:

$$(x^2-dy^2)(u^2-dv^2)=\mbox{det}\begin{pmatrix} x & dy \\ y & x \end{pmatrix}\cdot \mbox{det}\begin{pmatrix} u & dv \\ v & u \end{pmatrix}=\mbox{det}\begin{pmatrix} x & dy \\ y & x \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} u & dv \\ v & u \end{pmatrix} =$$
$$\displaystyle \mbox{det}\begin{pmatrix} xu+dyv & d(xv+yu) \\ yu+xv & xu+dyu \end{pmatrix}= (xu+dyv)^2-d(xv+yu)^2$$

E va beh, con i complessi è più semplice, e francamente del secondo conosco una soluzione solo coi complessi... chi la scrive ? Mi unisco a patatone per chiedere se esitono delle motivazioni profonde a tutto ciò...
COme ci sei arrivato te alle formule ?
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Re: La forma non cambia mai...

Messaggio da patatone » 06 set 2011, 13:10

Mist ha scritto:COme ci sei arrivato te alle formule ?
Beh, dopo aver scoperto grazie a te che ci sono dei modi seri per farlo un po' mi vergogno a dirlo, però ci sono arrivato "a caso", ovvero unendo intuito, euristica e cercando di sistemare le cose...
per il primo ho visto subito che bastava sommare e sottrarre 2dabxy ed era fatta, per il secondo come ho già detto è stato un casino: si nota subito che la cosa più sensata da fare è usare espressioni composte dai prodotti a 2 a 2 che siano simili, e con un po' di pazienza e molti aggiustamenti di segno sono arrivato a
$(ay+ax+bx)^2-(ay+ax+bx)(ay+by+bx)+(ay+by+bx)^2$ (negli interi)
per portarlo nei naturali mi è venuta l'illuminazione: $a^2-ab+b^2=(a-b)^2+(a-b)b+b^2$!!! Da questo punto in poi è semplice concludere :o

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Re: La forma non cambia mai...

Messaggio da Mist » 06 set 2011, 13:33

Beh, bravissimo, che dire :D

Io per il primo ho fatto così in origine:
$(x^2+dy^2)(u^2+dv^2) = (x+\sqrt{d}y)(x-\sqrt{d}y)(u+\sqrt{d}v)(u-\sqrt{d}v) =$
$= [(xu -dvy)-\sqrt{d}(xv-yu)][(xu-dyv)+\sqrt{d}(xv-yu)] = (xu -dvy)^2 - d(xv-yu)^2$

E funziona per ogni $d\in \mathbb{Z}$ se vedi :)

per la seconda si fa una cosa simile, ma con la radice terza dell'unità.

Comunque ci voleva molta più bravura a fare come hai fatto te, complimenti, io avevo sviluppato ma non ero riuscito a cavarci niente di niente...

Per la cronaca, il problema a cui mi riferivo nel primo messaggio è il seguente: Dimostrare che se $7n= a^2+3b^2$, allora esistono $c$ e $d$ positivi tali che $n=c^2+3d^2$... per questo per me queste cose sarebbero da tenere a mente :)

Qualcuno conosce qualche altra cosa che mantiene la forma come quelle sopra ?
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Re: La forma non cambia mai...

Messaggio da Mist » 09 set 2011, 19:13

toh, ne ho trovato un altro simile, non sto ad aprire un altro topic...

DImostrare che se $n=a^2+b^2+c^2$ allora $n^2=x^2+y^2+z^2$ con $(a,b,c,x,y,z)\in \mathbb{N} ^6$
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