Appiccicando numeri...

[xXStephXx]

Ho notato che non c'è la possibilità che siano congrui a 2 modulo 4. perchè se un esponente è pari essendo maggiore di 2 allora il numero è multiplo di 4, se è dispari tanto di guadagnato.. Però che ci faccio? Acqua? xD

Però ho notato che cambiando la disposizione dei numeri, la somma delle cifre è un'invariante, quindi forse dovrebbe interessarmi il modulo 9?

[Mist]

Bravo, ci sei quasi, prova a generalizzare la cosa del modulo 4

[xXStephXx]

Forse i numeri non possono essere congrui a n modulo $ n^2 $.. Quindi manco congrui a 3 modulo 9.

[Mist]

ok, prova a togliere il forse dall'inizio della frase e stendi una dimostrazione come si deve di tutto e hai finito

[xXStephXx]

Allora

Codice: Seleziona tutto

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;

namespace ConsoleApplication1
{
    class Program
    {
        static int sumDigits(int n)
        {
            int sum = 0;
            foreach (char c in n.ToString())
                sum += int.Parse(c.ToString());
            return sum;
        }
        static void Main(string[] args)
        {
            int sum = 0;
            for (int i = 1; i <= 1986; i++)
                sum += sumDigits(i);
            
                Console.WriteLine(sum);
            Console.ReadLine();
        }
    }
}

Questo programma mi dice che la somma delle cifre è 27687.
Tale somma è congrua a 3 modulo 9 (multiplo di 3 ma non di 9). Se un numero non è multiplo di 3, non lo sono manco le sue potenze, se un numero è multiplo di 3, se l'esponente è maggiore di 2 è anche multiplo di 9. Quindi non si può ottenere una potenza con esponente maggiore o uguale a 2 che sia multipla di 3 ma non di 9.

[edit]
Se arrivo a 2010 viene come somma 28068, anch'esso multiplo di 3 ma non di 9, quindi assurdo per la dimostrazione precedente.

[balossino]

Aspetta un attimo... forse sto prendendo una cantonata colossale, ma... se considerassi le cifre generate dall'operazione "somma delle cifre" applicata a ogni termine della successione 1,2,...1986? Non sarebbe come applicare il criterio di divisibilità per 9?
Così alla fine verrebbe una serie continua del tipo 1,2,...8,0,1,2,...8,0... che termina con un 6. Ma l'unica parte di questa serie che influisce effettivamente sulla divisibilità per 9 del totale è l'ultima, 0,1,2,3,4,5,6, perché le file precedenti sommate davano 8x9/2=4x9 che è congruo a 0 modulo 9. Ora, visto che abbiamo 6x7/2=3x7, che non è divisibile per 9, abbiamo che il nostro numero non è divisibile per 9. Ed è però divisibile per 3, perché sia 4x9 che 3x7 sono divisibili per tre!
A questo punto è facile concludere che il nostro numero non può essere una potenza con esponente maggiore di 1!

[balossino]

ma porca miseria, è la seconda volta oggi che mi capita di scrivere la soluzione contemporaneamente a un altro!

[xXStephXx]

Carina la tua idea per sommare, in effetti io ho barato spudoratamente

[balossino]

Carina la tua idea per sommare, in effetti io ho barato spudoratamente

Ti ringrazio, anche se in effetti non ne ho dimostrato la validità Comunque fai solo bene ad usare i programmi, finché puoi

[Mist]

Bene ad entrambi

Ora, siccome quella somma non era altro che $\displaystyle 1+2+\dots + 1986 = \sum_{j=1}^{1986}j$ e ho visto che avete avuto qualche problemino, dimostrate che

$$ \displaystyle \sum_{j=1}^{n}j = \frac{n(n+1)}{2}$$

Conoscevare questo fatto ?

[balossino]

Bene ad entrambi

Ora, siccome quella somma non era altro che $\displaystyle 1+2+\dots + 1986 = \sum_{j=1}^{1986}j$ e ho visto che avete avuto qualche problemino, dimostrate che

$$ \displaystyle \sum_{j=1}^{n}j = \frac{n(n+1)}{2}$$

Conoscevare questo fatto ?

...sono un idiota.

[xXStephXx]

mi aggiungo alla lista xD

[Mist]

Bene XD

ricordatevi solo che quando dovete verificare se qualcosa $x$ può essere o meno una potenza perfetta dovete guardare se $x\equiv p \pmod{p^2}$ e avete fatto Mi sembra che venga spiegato in un Senior basic del 2010, è fatta bene quella lezione, guardatela...

P.S.: post semi inutile per togliermi dalla voce "più attivo nell'argomento" quel post schifoso in cui ho fatto solo figuracce tempo orsono

[exodd]

L'hint che volevo darvi era un banalissimo (mod 9), che avrebbe risolto tutto, come avete potuto notare
La prossima volta che dovrò mettere un link così esplicito, lo metto sotto forma di enigma

[Drago96]

acc...
mi avete fregato... mi è venuta in mente questa idea mentre stavo per addormentarmi!

P.S. anche io avevo intenzione di farlo calcolare al computer, però in effetti non cambia niente fare la somma totale o la somma di tutte le cifre (più difficoltoso)...

Tanto per la cronaca: $\displaystyle{\frac{1986\cdot 1987}{2}=1973091}$ che è congruo a 0 mod 3 e congruo a 3 mod 9
$\displaystyle{\frac{2010\cdot 2011}{2}=2021055}$ , divisibile per 3 e congruo a 6 mod 9