Numeri... quasi perfetti!

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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spugna
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Numeri... quasi perfetti!

Messaggio da spugna » 04 set 2011, 18:19

Probabilmente è un fatto stranoto, ma lo posto lo stesso perché l'ho trovato carino...
Dimostrare che per ogni $n>0$ vale $\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n$
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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exodd
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Re: Numeri... quasi perfetti!

Messaggio da exodd » 04 set 2011, 18:48

definisci
$ \varphi(n) $
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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ngshya
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Re: Numeri... quasi perfetti!

Messaggio da ngshya » 04 set 2011, 19:16

Credo che intenda dire la funzione φ di Eulero. A questo punto sarebbe carino chiedere anche una formula per la somma di tutti i divisori di un numero.

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Drago96
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Re: Numeri... quasi perfetti!

Messaggio da Drago96 » 04 set 2011, 20:36

$\sum\limits_{d|n}$
Significa che si devono prendere solo i d che dividono n?
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Re: Numeri... quasi perfetti!

Messaggio da LeZ » 04 set 2011, 20:48

Se d è primo, allora per ogni h>1 risulta $ \varphi(d^{h})=d^{h}-d^{h-1} $ se non sbaglio.

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Re: Numeri... quasi perfetti!

Messaggio da spugna » 04 set 2011, 21:32

exodd ha scritto:definisci
$ \varphi(n) $
Perché? Può voler dire qualcos'altro?
Drago96 ha scritto:
$\sum\limits_{d|n}$
Significa che si devono prendere solo i d che dividono n?
Esatto :)
LeZ ha scritto:Se d è primo, allora per ogni h>1 risulta $ \varphi(d^{h})=d^{h}-d^{h-1} $ se non sbaglio.
Fin qui ok, ti rimangono i divisori composti! :P
P.S.: per il simbolo $\ge$ puoi usare \ge o \geq: è un po' più elegante...
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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Re: Numeri... quasi perfetti!

Messaggio da exodd » 04 set 2011, 21:35

Sì, scusa, è che lo vedo sempre scritto in un altro modo :D
Comunque è abbastanza facile, quindi sotto gente ;)
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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Re: Numeri... quasi perfetti!

Messaggio da LeZ » 04 set 2011, 22:25

Per i divisori composti, basta che applico questa regola ad ogni primo che lo compone :D
Comunque grazie per l'aiuto nel LateX devo ancora specializzarmi :P

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Re: Numeri... quasi perfetti!

Messaggio da exodd » 04 set 2011, 22:29

LeZ ha scritto:Per i divisori composti, basta che applico questa regola ad ogni primo che lo compone :D
Comunque grazie per l'aiuto nel LateX devo ancora specializzarmi :P
Sì, ma.. Lo dovresti dimostrare :wink:
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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Re: Numeri... quasi perfetti!

Messaggio da LeZ » 04 set 2011, 22:46

Gli unici numeri che non sono primi con $ d^{h} $ sono i multipli di d, possiamo quindi scriverli nella forma $ d\dot k $ con $ 1\le k \le d^{h-1} $, e quindi in totale sono $ d^{h-1} $

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Re: Numeri... quasi perfetti!

Messaggio da Mist » 04 set 2011, 23:26

Bene, ora prova a dimostrare che $\varphi$ è moltiplicativa, ovvero che se $a$ e $b$ sono coprimi allora $\varphi (ab) = \varphi (a)\varphi (b)$...

Hint per una delle possibili dimostrazioni:
Testo nascosto:
la moltiplicatività è comoda, comodissima in questi casi...
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

LeZ
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Re: Numeri... quasi perfetti!

Messaggio da LeZ » 05 set 2011, 00:09

Beh intanto l'MCD $ (a,b)=1 $. Sia il prodotto $ k =a\dot b $ esistono quindi alcuni numeri $ 0\le h <k $ nella forma $ (h \mod a, h\mod b) $, avendo MCD $ (h,ab)=1 $ se e solo se MCD $ (h\mod a,a)=1 $ e MCD$ (h\mod b,b)= $1; da cui il totale $ \varphi (ab) $ degli $ h\mod ab $ è quindi $ \varphi (a)\varphi (b) $. La funzione di Eulero è moltiplicativa.

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