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Trovare le soluzioni intere non negative dell'equazione $$2^x+3^y=z^2$$

Non mi è sembrato molto difficile, però è abbastanza carina

Dunque, cominciamo... supponiamo x pari e uguale a 2k. Abbiamo $$3^y=z^2-2^{2k} =(z+2^k)(z-2^k)=m(m+2^{k+1})$$ dove $$m=z-2^k$$
Entrambi i fattori del membro risultante devono essere potenze non negative di tre. Per m>1 abbiamo che m è congruo a zero modulo tre, mentre 2^(k+1) può essere congruo solo a 1 o a 2, perciò il termine tra parentesi non è mai divisibile per 3 e non vi sono soluzioni.

E (0,1,2)?

Quando arrivo a casa provo a risolverla sul serio, che ora sono via...

mah, il punto è che balossino ha risolto solo per $x$ pari e mi pare che abbia assunto implicitamente senza accorgersene che $k\geq 1$ ed è per questo che non becca la tua soluzione (sarebbe meglio poi dire $(x,y,z)=(0,1,2)$ se no non si capisce l'ordine)... per il LaTeX, basta che scrivi 2^{2k} anzichè 2^(2k) come hai fatto e vedi che ti esce scritto bene. Comunque l'idea di balossino è in linea di massima corretta, basta stare un pochino più attenti Il caso con $x$ dispari si fa facilmente

Mist ha scritto:mah, il punto è che balossino ha risolto solo per $x$ pari e mi pare che abbia assunto implicitamente senza accorgersene che $k\geq 1$ ed è per questo che non becca la tua soluzione (sarebbe meglio poi dire $(x,y,z)=(0,1,2)$ se no non si capisce l'ordine)...

La supposizione che mi impedisce di trovare (0,1,2) non è $k\geq 1$ ma m>1. Sto cercando di dimostrare che questo caso genera tutte e sole le terne (0,1,2) e (4,2,5), ma ancora non ci sono arrivato...

Ok, allora: scrivo $$3^y-1=2^{k+1}$$. Se y è pari e uguale a 2h, abbiamo $$(3^h+1)(3^h-1)=2^{k+1}$$ e quindi cerchiamo il prodotto di due potenze di 2 che distano di 2 posti. Le uniche che rispondano a questo requisito sono 2 e 4, dunque 3^h=3 e da qui si ricava (x,y,z)=(4,2,5). Se invece y è dispari, scomponendo 3^y-1 otterremo un prodotto del tipo (3-1)(...) dove il primo fattore vale 2 e l'altro è dispari (si dimostra facilmente considerando che si tratta della somma di y addendi ognuno ottenuto come prodotto dei fattori 3 e 1 in diverse combinazioni). Dunque 2^k+1=2, 3^y=3 e da qui la terna (0,1,2).

Ora resta solo da analizzare il caso x dispari.

balossino ha scritto:Ora resta solo da analizzare il caso x dispari.

Non ho letto bene il resto, ma di questo non c'è bisogno...
Vedi l'equazione mod 3, e ti viene $2^x\equiv z^2\equiv 1$, che significa x pari...

Ah, ecco, ci sono! E con questo concludo la soluzione.

Se x è dispari, 2^x è congruo a 2 modulo 3. Si può dimostrare facilmente, ad esempio considerando che il resto della divisione nel passaggio tra due potenze consecutive viene raddoppiato, perciò da 1 (che si ha per x=0) diventa 2, poi 4 che in modulo 3 equivale a 2 e così via.
Dunque z^2 è congruo a 2 modulo 3. Ma questo è assurdo perché z è un numero intero, dunque si presentano esattamente tre casi e nessuno di essi è soddisfacente. z congruo a zero, z^2 congruo a zero; z congruo a 1, z^2 congruo a 1 e z congruo a 2, z^2 congruo a 1.

Drago96 ha scritto:

balossino ha scritto:Ora resta solo da analizzare il caso x dispari.

Non ho letto bene il resto, ma di questo non c'è bisogno...
Vedi l'equazione mod 3, e ti viene $2^x\equiv z^2\equiv 1$, che significa x pari...

Mi sa che in pratica abbiamo scritto la stessa soluzione contemporaneamente! Meglio comunque, vuol dire che ci ho visto giusto

Però c'è anche la terna (3,0,3)...

Stasera me la studio per bene, che non ho ancora avuto tempo per pensarci seriamente...

matty96 ha scritto:Trovare le soluzioni intere non negative dell'equazione $2^x+3^y=z^2$

1) Togliamoci dai piedi i casi con 0...
$x=0\rightarrow 3^y=(z+1)(z-1)$ Le uniche due potenze di 3 con differenza di 2 sono 1 e 3, dunque si ha la prima terna $(x,y,z)=(0,1,2)$
$y=0\rightarrow 2^x=(z+1)(z-1)$ Le uniche due potenze di 2 con differenza 2 sono 2 e 4, da cui $(x,y,z)=(3,0,3)$
$z=0$ ovviamente non porta a niente
Perciò d'ora in avanti si suppone $x,y,z>0$
2) Usiamo un po' le congruenze...
$2^x\equiv z^2\pmod 3$ dunque $3\nmid z$ , perciò $x=2k$
Dunque $3^y=(z+2^k)(z-2^k)$ (0), per cui per forza $z+2^k=3^a$ (1) e $z-2^k=3^b$ (2) ($a+b=y$)
3) Un po' di conti finali
Sommando (1) e (2) si ottiene $2z=3^a+3^b$ , perciò esattamente uno tra a e b è 0.
Osservando ora (1) e (2) si vede che $a>b$ , dunque è b ad essere 0. Da qui si ha $z=2^k+1$ e ovviamente $z-2^k=1$ .
Torniamo a (0), usando quello che abbiamo appena detto: $3^y=2^{k+1}+1$ .
Abbiamo che le uniche due potenze successive sono 8 e 9 *, perciò $y=2$ e $k+1=3\rightarrow x=4$ .
Sostituendo nell'equazione iniziale si ha $2^4+3^2=z^2$ , da cui la terza e ultima terna $(x,y,z)=(4,2,5)$

*Mi rendo conto che non è poi così ovvio... link!

Mi mancava proprio quel teorema xD Siccome noto che spesso mi blocco per la mancanza di nozioni, dove posso imparare quei teoremi astrusi?

xXStephXx ha scritto:Mi mancava proprio quel teorema xD Siccome noto che spesso mi blocco per la mancanza di nozioni, dove posso imparare quei teoremi astrusi?

Io l'ho imparato leggendo un'altra soluzione!
Sennò a che serve il forum?

Le cose "base" le ho studiate sui video / dispense
Ma le strategie e alcuni teoremi, quelli l'unico modo è il forum... (o almeno, è un grande aiuto)

Si può fare a meno di usare quel teorema, vi do un aiuto da usare in casi estremi
hint:

xXStephXx ha scritto:Mi mancava proprio quel teorema xD Siccome noto che spesso mi blocco per la mancanza di nozioni, dove posso imparare quei teoremi astrusi?

tanto un teorema cosi in gara non puoi usarlo, quindi che tu lo conosca o no cambia poco