Equazione esponenziale

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
matty96
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Equazione esponenziale

Messaggio da matty96 » 04 set 2011, 16:09

Trovare le soluzioni intere non negative dell'equazione $$2^x+3^y=z^2$$

Non mi è sembrato molto difficile, però è abbastanza carina :wink:
<<Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
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balossino
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Re: Equazione esponenziale

Messaggio da balossino » 04 set 2011, 16:40

Dunque, cominciamo... supponiamo x pari e uguale a 2k. Abbiamo $$3^y=z^2-2^{2k} =(z+2^k)(z-2^k)=m(m+2^{k+1})$$ dove $$m=z-2^k$$
Entrambi i fattori del membro risultante devono essere potenze non negative di tre. Per m>1 abbiamo che m è congruo a zero modulo tre, mentre 2^(k+1) può essere congruo solo a 1 o a 2, perciò il termine tra parentesi non è mai divisibile per 3 e non vi sono soluzioni.
Ultima modifica di balossino il 04 set 2011, 17:04, modificato 1 volta in totale.

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Re: Equazione esponenziale

Messaggio da Drago96 » 04 set 2011, 16:49

E (0,1,2)? :)

Quando arrivo a casa provo a risolverla sul serio, che ora sono via...
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Re: Equazione esponenziale

Messaggio da Mist » 04 set 2011, 16:57

mah, il punto è che balossino ha risolto solo per $x$ pari e mi pare che abbia assunto implicitamente senza accorgersene che $k\geq 1$ ed è per questo che non becca la tua soluzione (sarebbe meglio poi dire $(x,y,z)=(0,1,2)$ se no non si capisce l'ordine)... per il LaTeX, basta che scrivi 2^{2k} anzichè 2^(2k) come hai fatto e vedi che ti esce scritto bene. Comunque l'idea di balossino è in linea di massima corretta, basta stare un pochino più attenti ;) Il caso con $x$ dispari si fa facilmente
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Re: Equazione esponenziale

Messaggio da balossino » 04 set 2011, 17:10

Mist ha scritto:mah, il punto è che balossino ha risolto solo per $x$ pari e mi pare che abbia assunto implicitamente senza accorgersene che $k\geq 1$ ed è per questo che non becca la tua soluzione (sarebbe meglio poi dire $(x,y,z)=(0,1,2)$ se no non si capisce l'ordine)...
La supposizione che mi impedisce di trovare (0,1,2) non è $k\geq 1$ ma m>1. Sto cercando di dimostrare che questo caso genera tutte e sole le terne (0,1,2) e (4,2,5), ma ancora non ci sono arrivato...

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Re: Equazione esponenziale

Messaggio da balossino » 04 set 2011, 17:26

Ok, allora: scrivo $$3^y-1=2^{k+1}$$. Se y è pari e uguale a 2h, abbiamo $$(3^h+1)(3^h-1)=2^{k+1}$$ e quindi cerchiamo il prodotto di due potenze di 2 che distano di 2 posti. Le uniche che rispondano a questo requisito sono 2 e 4, dunque 3^h=3 e da qui si ricava (x,y,z)=(4,2,5). Se invece y è dispari, scomponendo 3^y-1 otterremo un prodotto del tipo (3-1)(...) dove il primo fattore vale 2 e l'altro è dispari (si dimostra facilmente considerando che si tratta della somma di y addendi ognuno ottenuto come prodotto dei fattori 3 e 1 in diverse combinazioni). Dunque 2^k+1=2, 3^y=3 e da qui la terna (0,1,2).

Ora resta solo da analizzare il caso x dispari.

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Re: Equazione esponenziale

Messaggio da Drago96 » 04 set 2011, 17:45

balossino ha scritto:Ora resta solo da analizzare il caso x dispari.
Non ho letto bene il resto, ma di questo non c'è bisogno... ;)
Vedi l'equazione mod 3, e ti viene $2^x\equiv z^2\equiv 1$, che significa x pari...
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Re: Equazione esponenziale

Messaggio da balossino » 04 set 2011, 17:53

Ah, ecco, ci sono! E con questo concludo la soluzione.

Se x è dispari, 2^x è congruo a 2 modulo 3. Si può dimostrare facilmente, ad esempio considerando che il resto della divisione nel passaggio tra due potenze consecutive viene raddoppiato, perciò da 1 (che si ha per x=0) diventa 2, poi 4 che in modulo 3 equivale a 2 e così via.
Dunque z^2 è congruo a 2 modulo 3. Ma questo è assurdo perché z è un numero intero, dunque si presentano esattamente tre casi e nessuno di essi è soddisfacente. z congruo a zero, z^2 congruo a zero; z congruo a 1, z^2 congruo a 1 e z congruo a 2, z^2 congruo a 1.

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Re: Equazione esponenziale

Messaggio da balossino » 04 set 2011, 17:56

Drago96 ha scritto:
balossino ha scritto:Ora resta solo da analizzare il caso x dispari.
Non ho letto bene il resto, ma di questo non c'è bisogno... ;)
Vedi l'equazione mod 3, e ti viene $2^x\equiv z^2\equiv 1$, che significa x pari...
Mi sa che in pratica abbiamo scritto la stessa soluzione contemporaneamente! Meglio comunque, vuol dire che ci ho visto giusto :wink:

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Re: Equazione esponenziale

Messaggio da Drago96 » 04 set 2011, 19:43

Però c'è anche la terna (3,0,3)... :)

Stasera me la studio per bene, che non ho ancora avuto tempo per pensarci seriamente... :?
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Re: Equazione esponenziale

Messaggio da Drago96 » 04 set 2011, 20:33

matty96 ha scritto:Trovare le soluzioni intere non negative dell'equazione $2^x+3^y=z^2$
1) Togliamoci dai piedi i casi con 0...
$x=0\rightarrow 3^y=(z+1)(z-1)$ Le uniche due potenze di 3 con differenza di 2 sono 1 e 3, dunque si ha la prima terna $(x,y,z)=(0,1,2)$
$y=0\rightarrow 2^x=(z+1)(z-1)$ Le uniche due potenze di 2 con differenza 2 sono 2 e 4, da cui $(x,y,z)=(3,0,3)$
$z=0$ ovviamente non porta a niente
Perciò d'ora in avanti si suppone $x,y,z>0$
2) Usiamo un po' le congruenze...
$2^x\equiv z^2\pmod 3$ dunque $3\nmid z$ , perciò $x=2k$
Dunque $3^y=(z+2^k)(z-2^k)$ (0), per cui per forza $z+2^k=3^a$ (1) e $z-2^k=3^b$ (2) ($a+b=y$)
3) Un po' di conti finali
Sommando (1) e (2) si ottiene $2z=3^a+3^b$ , perciò esattamente uno tra a e b è 0.
Osservando ora (1) e (2) si vede che $a>b$ , dunque è b ad essere 0. Da qui si ha $z=2^k+1$ e ovviamente $z-2^k=1$ .
Torniamo a (0), usando quello che abbiamo appena detto: $3^y=2^{k+1}+1$ .
Abbiamo che le uniche due potenze successive sono 8 e 9 *, perciò $y=2$ e $k+1=3\rightarrow x=4$ .
Sostituendo nell'equazione iniziale si ha $2^4+3^2=z^2$ , da cui la terza e ultima terna $(x,y,z)=(4,2,5)$

*Mi rendo conto che non è poi così ovvio... link!
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Re: Equazione esponenziale

Messaggio da xXStephXx » 04 set 2011, 20:38

Mi mancava proprio quel teorema xD Siccome noto che spesso mi blocco per la mancanza di nozioni, dove posso imparare quei teoremi astrusi? :lol:

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Re: Equazione esponenziale

Messaggio da Drago96 » 04 set 2011, 20:41

xXStephXx ha scritto:Mi mancava proprio quel teorema xD Siccome noto che spesso mi blocco per la mancanza di nozioni, dove posso imparare quei teoremi astrusi? :lol:
Io l'ho imparato leggendo un'altra soluzione! :lol:
Sennò a che serve il forum? :D

Le cose "base" le ho studiate sui video / dispense
Ma le strategie e alcuni teoremi, quelli l'unico modo è il forum... (o almeno, è un grande aiuto) ;)
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Re: Equazione esponenziale

Messaggio da matty96 » 04 set 2011, 20:48

Si può fare a meno di usare quel teorema, vi do un aiuto da usare in casi estremi
hint:
Testo nascosto:
$\pmod 4$
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Re: Equazione esponenziale

Messaggio da patatone » 04 set 2011, 21:03

xXStephXx ha scritto:Mi mancava proprio quel teorema xD Siccome noto che spesso mi blocco per la mancanza di nozioni, dove posso imparare quei teoremi astrusi? :lol:
tanto un teorema cosi in gara non puoi usarlo, quindi che tu lo conosca o no cambia poco :lol:

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