Risolvere $x^3-y^3=xy+61$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Mist
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Risolvere $x^3-y^3=xy+61$

Messaggio da Mist » 03 set 2011, 18:32

Risolvere in $\mathbb{N}$ l'equazione $x^3-y^3 = xy +61$.
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fraboz
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Re: Risolvere $x^3-y^3=xy+61$

Messaggio da fraboz » 04 set 2011, 11:20

allora, intanto fattorizziamo l'LHS e dunque $ (x-y)(x^2+xy+y^2)=xy+61 $ da cui abbiamo che il falso quadrato divide l'RHS ossia $ x^2+y^2 \leq 61 $(1) (in quanto stiamo lavorando in N).
inoltre dall'equazione iniziale abbiamo che $ x^3-y^3 \geq 0 $ cioè $ x \geq y $(2), sempre perchè stiamo lavorando in N.
adesso da (1) e (2) ricaviamo che $ 0 \leq y < \sqrt (\frac {61}{2}) $ cioè $ 0 \leq y \leq 5 $(3).
Adesso provando a mano per quei due valori della $ y $ si riesce a concludere che l'equazione ha l'unica soluzione $ (6;5) $


la dimostrazione è stata editata dopo i messaggi successivi...
Ultima modifica di fraboz il 05 set 2011, 09:59, modificato 1 volta in totale.

LeZ
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Re: Risolvere $x^3-y^3=xy+61$

Messaggio da LeZ » 04 set 2011, 12:26

Smentisco io :P
Riscrivo l'equazione come $ (x-y)(x^{2}+y^{2}+xy)=xy+61 $
Ora possiamo impostare il sistema:
1. $ x-y=1 $
2. $ x^{2}+y^{2}+xy=xy+61 $
Dall'ultima scopro che $ x^{2}+y^{2}=61 $, le cui soluzioni sono $ (6,5);(-6,-5) $; Inoltre $ 6-5=1 $ quindi le uniche soluzioni sono $ (6,5) $.
Ultima modifica di LeZ il 04 set 2011, 12:38, modificato 1 volta in totale.

matty96
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Re: Risolvere $x^3-y^3=xy+61$

Messaggio da matty96 » 04 set 2011, 12:35

E chi ti garantisce che quelle siano le uniche ? se $xy+61$ non è primo non puoi direttamente porre x-y=1, almeno fin quando non lo dimostri
Secondo me l'errore di fraboz è quiando dice $0 \leq x \leq 5$. Non dobrebbe essere $0 \leq x \leq 7$ ?
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Re: Risolvere $x^3-y^3=xy+61$

Messaggio da exodd » 04 set 2011, 12:41

fraboz ha scritto: adesso da (1) e (2) ricaviamo che $ 0 \leq x \leq \sqrt (\frac {61}{2}) $ cioè $ 0 \leq x \leq 5 $(3).
Questo è falso, perchè hai detto che x>y, ma se poni y=0, allora x^2<61
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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Re: Risolvere $x^3-y^3=xy+61$

Messaggio da LeZ » 04 set 2011, 12:55

$ (6,5) $ sono le uniche soluzioni perchè: scomposta l'equazione, deve valere che$ x-y|xy+61 $ ovvero $ \frac {xy+61}{x-y} $ deve essere intero. Scomponiamola in $ \frac {xy}{x-y} + \frac {61}{x-y} $. Ora $ \frac {61}{x-y} $ è intero per $ x-y=1 $ o $ x-y=61 $, ma allora $ 61|xy $,e ciò è impossibile.

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Re: Risolvere $x^3-y^3=xy+61$

Messaggio da exodd » 04 set 2011, 14:00

LeZ ha scritto:$ (6,5) $ sono le uniche soluzioni perchè: scomposta l'equazione, deve valere che$ x-y|xy+61 $ ovvero $ \frac {xy+61}{x-y} $ deve essere intero. Scomponiamola in $ \frac {xy}{x-y} + \frac {61}{x-y} $. Ora $ \frac {61}{x-y} $ è intero per $ x-y=1 $ o $ x-y=61 $, ma allora $ 61|xy $,e ciò è impossibile.
ehm.. Ciò non va bene..

ti faccio un esempio:
14/7 è intero
14/7 = 9/7 + 5/7
nè 9/7 nè 5/7 è intero..
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Re: Risolvere $x^3-y^3=xy+61$

Messaggio da LeZ » 04 set 2011, 14:05

Si me ne sono accorto mentre scrivevo :P, bisogna trovare un altra strada per dimostrare che non ce ne sono altre.

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Re: Risolvere $x^3-y^3=xy+61$

Messaggio da exodd » 04 set 2011, 14:09

Ecco una dimostrazione di $ x-y=1 $

Notiamo che $ x>y $

Passo 1)
Riscriviamo l'equazione come
$ x^3+(-y)^3+(-1/3)^3-3x(-y)(-1/3)=61-1/27 $
Scomponiamo secondo la celebre scomposizione
$ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) $
e otteniamo
$ (3x-3y-1)(9x^2+9y^2+1+9xy-3y-3x)=1646 $

Passo 2)
Analizzando il mostro di sopra, notiamo che:
- i due fattori non condividono fattori 2 (basta porre tutto mod 2)
- il primo fattore è minore del secondo (è da dimostrare, ma è facile)
- 1646=2*823 (sì, 823 è primo..)

Passo 3)
ciò ci porta a due possibili soluzioni
- $ 3x-3y-1=1 $ (impossibile mod 3)
- $ 3x-3y-1=2 $
che porta a $ x-y=1 $
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Re: Risolvere $x^3-y^3=xy+61$

Messaggio da Mist » 04 set 2011, 14:24

Hint:
Testo nascosto:
NOn sarebbe bellissimo se si riuscisse a dimostrare ben bene che $x-y$ può assumere solo una certa gamma moolto ristretta di valori per poi trovare $x$ e $y$ sostituendo ? Non esiste un modo furbo di esprimere quel polinomio ?
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Re: Risolvere $x^3-y^3=xy+61$

Messaggio da fraboz » 04 set 2011, 17:49

penso che il mio errore stia nell'aver confuso la x con la y in questo passaggio
fraboz ha scritto:adesso da (1) e (2)... cioè $ 0≤x≤5(3) $.
oltre all'errorino segnalato da exodd , infatti dopo provando per quei valori della y tutto torna... se mi date conferma edito la mia dimostrazione

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Re: Risolvere $x^3-y^3=xy+61$

Messaggio da Mist » 04 set 2011, 20:24

Edita pure la tua soluzione e vediamo ;)
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Re: Risolvere $x^3-y^3=xy+61$

Messaggio da fraboz » 05 set 2011, 10:00

ok ho editato

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Re: Risolvere $x^3-y^3=xy+61$

Messaggio da Mist » 05 set 2011, 19:46

Ok, mi sembra che vada bene...

Io avevo riscritto l'equazione di partenza in questo modo: $(x-y)^3+xy[3(x-y)-1] = 61$ e da qui andando per tentativi su $x-y$ (che può valere solo $1,2$ o $3$) si conclude che l'unica possibilità è $x-y =1$ e sostituendo nell'eq prima si arriva subito a capire che $x=6$ e $y=5$ è l'unica soluzione
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