Equazione in due incognite

[Mist]

Trovare tutte le soluzioni intere dell'equazione

$$x^3 +3= 4y(y+1)$$

[exodd]

Era già così all'inizio, o è già ad un passaggio intermedio?

Hint

Testo nascosto:

se non sai trattare con i triangoli.. Prova con i quadrati!

[Mist]

era già così all'inizio, non è molto difficile in effetti...

[LeZ]

Hint

Testo nascosto:

L'equazione vista modulo 4, rende $ x\equiv 1\pmod 4 $, da ciò deduco x dispari.
Ora con opportuni raccoglimenti posso scrivere l'equazione nella forma $ x^{3}=(2y+3)(2y-1) $

[matty96]

Riscrivo l'equazione come $x^3=4y^2+4y-3$ scompongo RHS tramite ruffini e ottengo che $4y^2+4y-3=(4y+6)(y-\frac{1}{2})=(2y-1)(2y+3)$. Perciò avremo che $x^3=(2y-1)(2y+3)$; per x=0 on ci sono soluzioni quindi abbiamo 2 casi: 1)$2y-1=x$ , $2y+3=x^2$ (la scelta di x e x^2 viene dal fatto che la prima espressione e minore della seconda) che non ha soluzioni intere; 2) $2y-1=a^3$ , $2y+3=b^3$ dove a,b sono interi che, però non ha soluzioni poichè la differenza di due cubi non è mai 4 (se volete la dimostrazione di questo basta chiedere).

[xXStephXx]

E se $ 2y+3=ab^2 $ e $ 2y-1=ba^2 $?

[Mist]

1)$2y-1=x$ , $2y+3=x^2$ (la scelta di x e x^2 viene dal fatto che la prima espressione e minore della seconda) che non ha soluzioni intere; 2) $2y-1=a^3$ , $2y+3=b^3$ dove a,b sono interi che, però non ha soluzioni poichè la differenza di due cubi non è mai 4 (se volete la dimostrazione di questo basta chiedere).

Non puoi dedurre dal fatto che $x^3=(2y-1)(2y+3)$ che $x=2y-1$ e $x^2=2y+3$ per il semplice fatto che se no tu così poni implicitamente che $x=(x,x^2)=(2y-1,2y+3) = (2y-1,4) =1$ che non è molto lecito...

EDIT: chiedo scusa a stephenXxX, non avevo visto la sua risposta, che è sostanzialmente uguale alla mia

[matty96]

Me lo aspettavo...vediamo se posso rimediare (l'ho fatta in quel modo perchè ne avevo visto una simile risolta cosi')

Comincio da quando ho scomposto quel polinomio con ruffini: a questo punto pongo $z=2y+3$ da cui ricavo $x^3=z(z-4)$ . Dato che $z \mid x^3$ pongo $x^3={x_1}^3z^3$ cosi ottengo $z^2{x_1}^3=z-4$ (x_1 intero).
Poichè si $z^2\mid {z-4}$ si deve avere $z^2 \leq z-4$ che è impossibile poichè $z^2 > z-4$

[Mist]

mhm... no, ancora non va, il fatto che $z\mid x^3$ non implica che $x^3 = z^3x_1^3$, è abbastanza evidente se provi a fare un caso banale, tipo $(2\cdot 3)^3$... Infatti $z= 2^3\mid 2^33^3$ ma $ x^3 = 2^33^3 \neq z^3x_1^3 = 2^6x_1^3$

[exodd]

Hint

Testo nascosto:

Due numeri dispari la cui differenza è 4... chissà che fattori potranno mai condividere..

[Drago96]

Hint

Testo nascosto:

Due numeri dispari la cui differenza è 4... chissà che fattori potranno mai condividere..

$MCD(2y-1,2y+3)=1$
Difatti se uno è divisibile per un primo p (non 2, ovviamente), allora l'altro è congruo a 4 o -4 modulo p, e ovviamente un pari non può essere congruo a 0 modulo un dispari.
Il che significa $2y-1=a^3$ e $2y+3=b^3$ e dunque $x=ab$.
Si ha dunque $a^3-b^3=4\rightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)((a-b)^2+3ab)=4$
I divisori di 4 sono $\{-4,-2,-1,1,2,4\}$ .
Provando i vari sistemi si vede che non ci sono soluzioni intere.

Dovrebbe andare...

[matty96]

ah.....che stupido a non pensare ai fattori comuni(sarà il fatto che mi sto dedicando ad altro)....comunque non capisco una cosa mist: quando io ho detto che $z\mid x^3$ intendevo che allora $z \mid x$ che è vero (penso di si: $x^3 \equiv0 \pmod z \rightarrow x \equiv 0 \pmod z$) quindi ho posto $x=zx_1$ e da qua tutto il resto. Dove sbaglio?

[exodd]

ah.....che stupido a non pensare ai fattori comuni(sarà il fatto che mi sto dedicando ad altro)....comunque non capisco una cosa mist: quando io ho detto che $z\mid x^3$ intendevo che allora $z \mid x$ che è vero (penso di si: $x^3 \equiv0 \pmod z \rightarrow x \equiv 0 \pmod z$) quindi ho posto $x=zx_1$ e da qua tutto il resto. Dove sbaglio?

4 divide 6^3
4 non divide 6

[matty96]

E' vero io avevo considerato il caso inverso.....mizzica che errore schifoso, in genere non lo faccio....sono davvero fuori di testa, scusate

[LeZ]

$ x^{3}-y^{3}=4 $ non è mai verificata, senza fare sistemi basta guardarla in modulo 7 se vogliamo essere precisi