Diofantea Fattibile

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
LeZ
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Diofantea Fattibile

Messaggio da LeZ » 14 ago 2011, 15:00

Trovare tutte le coppie di interi positivi x,y tali che $ x^{2}+y^{2}=81770 $

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exodd
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Re: Diofantea Fattibile

Messaggio da exodd » 17 ago 2011, 18:47

Fattibile? XD
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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<enigma>
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Re: Diofantea Fattibile

Messaggio da <enigma> » 17 ago 2011, 19:23

E' banale, solo tutta tecnica e calcoli (anche con $n$ al posto di $81770$).
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Re: Diofantea Fattibile

Messaggio da xXStephXx » 17 ago 2011, 19:24

Wolfram Alpha a tutta manetta!!!

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Re: Diofantea Fattibile

Messaggio da <enigma> » 17 ago 2011, 19:29

xXStephXx ha scritto:Wolfram Alpha a tutta manetta!!!
Macché...
Dovendo farlo a mano si scompone il numero in prodotto di fattori, si calcola la rappresentazione come somma di due quadrati di ciascuno di essi e poi si moltiplicano ad uno ad uno usando a ciascuno step le due forme dell'identità di Brahmagupta-Fibonacci. Oppure si usa la formula esplicita...
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Re: Diofantea Fattibile

Messaggio da <enigma> » 17 ago 2011, 19:36

A 'sto punto metto come si risolve: dato che $81770=2 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 37$ (tutti numeri primi della forma $4k+1$ e dunque somme di due quadrati), si vede che $10$ ha una sola rappresentazione, e la moltiplicazione per ciascuno dei tre fattori successivi (per la suddetta identità) raddoppia il numero di rappresentazioni, per un totale di otto (non ordinate). A questo punto c'è solo da calcolare che siano effettivamente distinte, e da computare esplicitamente i numeri in ballo, ma sono solo conti. Conoscendo la fattorizzazione di un numero qualsiasi si può risolvere la suddetta diofantea per quel numero.
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Re: Diofantea Fattibile

Messaggio da LeZ » 17 ago 2011, 21:31

Si questi esercizi, si risolvono più o meno tutti nella stessa maniera, è utile capire il metodo ad ogni modo ;)

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Re: Diofantea Fattibile

Messaggio da dario2994 » 17 ago 2011, 21:41

Forse è ovvio ma non mi è chiaro... perchè quelle dette da enigma sono tutte? E perchè un primo ha un'unica rappresentazione?
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Re: Diofantea Fattibile

Messaggio da Nabir Albar » 17 ago 2011, 23:13

Non è affatto ovvio, ma segue facilmente dal fatto che esiste la fattorizzazione unica negli interi di Gauss 8)

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Re: Diofantea Fattibile

Messaggio da <enigma> » 18 ago 2011, 11:25

Nabir Albar ha scritto:Non è affatto ovvio, ma segue facilmente dal fatto che esiste la fattorizzazione unica negli interi di Gauss 8)
Sì, e un corollario interessante da aggiungere (riguardo alla seconda domanda di dario2994) è che la non unicità della rappresentazione di un numero primo contraddirebbe la sua primalità: in particolare vedi qui.
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Re: Diofantea Fattibile

Messaggio da EvaristeG » 18 ago 2011, 22:55

Più che un corollario, è la dimostrazione dell'unicità...

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Re: Diofantea Fattibile

Messaggio da <enigma> » 19 ago 2011, 12:21

EvaristeG ha scritto:Più che un corollario, è la dimostrazione dell'unicità...
In effetti :lol:
L'avevo detto con in mente un'altra dimostrazione :(
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Re: Diofantea Fattibile

Messaggio da Drago96 » 25 ago 2011, 14:06

Visto che 'ste coppie non sono ancora saltate fuori, le trovo io, grazie al metodo spiegatomi con moolta pazienza da enigma... :)
Abbiamo che $81770=2 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 37$ e scriviamo come somma di quadrati i vari primi:
$2=1^2+1^2$, $5=2^2+1^2$, $13=3^2+2^2$, $17=4^2+1^2$, $37=6^2+1^2$.
Ora con calma ci ricaviamo tutte le varie coppie...

1) $10=(1^2+1^2)(2^2+1^2)=1^2+3^2$ ed è l'unica rappresentazione di 10 come somma di quadrati.
2) $10\cdot 13=(1^2+3^2)(3^2+2^2)=3^2+11^2=9^2+7^2$
3) $10\cdot 13\cdot 17=(3^2+11^2)(4^2+1^2)=1^2+47^2=23^2+41^2$
$10\cdot 13\cdot 17=(9^2+7^2)(4^2+1^2)=43^2+19^2=29^2+37^2$
4) passaggio finale...
$81770=10\cdot 13\cdot 17\cdot 37=(1^2+47^2)(6^2+1^2)=53^2+281^2=41^2+283^2$
$81770=10\cdot 13\cdot 17\cdot 37=(23^2+41^2)(6^2+1^2)=97^2+269^2=179^2+223^2$
$81770=10\cdot 13\cdot 17\cdot 37=(43^2+19^2)(6^2+1^2)=239^2+157^2=277^2+71^2$
$81770=10\cdot 13\cdot 17\cdot 37=(29^2+37^2)(6^2+1^2)=137^2+251^2=211^2+193^2$

Auff... che fatica... :x

Però mi ha fatto venire voglia di scrivere un programma per scompore un numero in somma di quadrati... :idea:
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Re: Diofantea Fattibile

Messaggio da FrancescoVeneziano » 25 ago 2011, 15:06

È abbastanza facile, per fare $x^2+y^2=c$ provi tutti i valori di x tra 0 e $\sqrt{\frac{c}{2}}$.
La diofantea è, in linea di principio, banale anche senza la teoria sulla norma dei campi quadratici :)
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Re: Diofantea Fattibile

Messaggio da xXStephXx » 25 ago 2011, 15:27

Devo dire che non ci sarei mai arrivato.. Mi è piaciuto il metodo usato da Drago96.

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