Diofantea Carina Semplice

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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LeZ
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Diofantea Carina Semplice

Messaggio da LeZ » 04 ago 2011, 23:14

Trovare tutte le coppie di interi positivi x,y tali che $ x^{4}+4y^{4}=15665 $

attwo
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Re: Diofantea Carina Semplice

Messaggio da attwo » 04 ago 2011, 23:37

Si scompone banalmente. :(

LeZ
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Re: Diofantea Carina Semplice

Messaggio da LeZ » 04 ago 2011, 23:43

Mostra il procedimento ;), infatti è semplice.

Citrullo
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Re: Diofantea Carina Semplice

Messaggio da Citrullo » 05 ago 2011, 11:36

$ x^4+4y^4=(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2-2xy) $ quindi fattorizzo $ 15665=5*13*241 $, osservo che $ x^2+2y^2+2xy>x^2+2y^2-2xy $ perchè (x,y) entrambi positivi, vedo che $ 241>13*5 $ quindi devo provare solo 4 sistemi (infatti $ 241 $ deve appartenere per forza a $ x^2+2y^2+2xy $)

Alcuni conti dopo concludo che in 3 sistemi non ottengo neanche soluzioni reali (discriminante negativo) mentre nell'ultimo sistema ($ 241=x^2+2y^2+2xy $ e $ 13*5=x^2+2y^2-2xy $ ottengo 4 coppie di soluzioni razionali di cui però solo la coppia $ (x,y)=(11,4) $ è composta da interi positivi, ed è quindi l'unica soluzione al problema.

LeZ
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Re: Diofantea Carina Semplice

Messaggio da LeZ » 06 ago 2011, 10:06

Direi perfetto ;)

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