diofantea da cese 2001

[fraboz]

Si consideri l'equazione:
$ x^{2001}=y^x $
a) Determinare tutte le coppie $ (x;y) $ di soluzioni in cui $ x $ è un numero primo e $ y $ è un intero positivo.
b) Determinare tutte le coppie $ (x;y) $ di soluzioni in cui $ x $ e $ y $ sono interi positivi

[Drago96]

Se x è primo, allora deve per forza essere $y=x^n$, dunque l'equazione si trasforma in $nx=2001$ ; scompongo, $2001=3\cdot 23\cdot 29$ . Dunque le coppie sono $(x,y)=(3,3^{667});(23,23^{87});(29,29^{69})$
Per il b, x deve essere un divisore di 2001 e y si adatta di conseguenza... ma ora non ho voglia di fare i conti...

EDIT: le coppie della seconda equazione sono
$(x,y)=(1,1);(3,3^{667});(23,23^{87});(29,29^{69});(69,69^{29});(87,87^{23});(667,667^3);(2001,2001)$

Spero che sia giusta...

[Drago96]

Ho controllato sulle soluzioni, e le coppie corrispondono, anche la dim del punto a)...

Per il b) invece io ho avuto un'idea completamente diversa: faccio la radice x-esima.
Dunque ottengo $\displaystyle{y=x^{2001\over x}}$ Dato che se elevo un intero $n$ ad un razionale $z$ ottengo un irrazionale, allora per forza devo avere $\displaystyle{{2001\over x}\in\mathbb{N}}$ che si verifica solo per le $x$ divisori di 2001. Adattando poi la $y$ ottengo le coppie elencate.

Può andare?

[exodd]

se elevo un intero $n$ ad un razionale $z$ ottengo un irrazionale

$ 4^{3/2}=8 $

[Drago96]

se elevo un intero $n$ ad un razionale $z$ ottengo un irrazionale

$ 4^{3/2}=8 $

Allora perchè con il mio ragionamento mi vengono le stesse soluzioni?!?

Forse perchè 4 è un quadrato, quindi in realtà sarebbe $2^{2^{3/2}}$ ...
Mi sa che da qua ne tiro fuori qualcosa...

EDIT: WolframAlpha dice che c'è una sola soluzione intera per $x=n^x$ ed è $(1,1)$ ...
Dunque la $x$ del denominatore non si semplifica... E quindi il mio ragionamento fila...

[exodd]

Allora perchè con il mio ragionamento mi vengono le stesse soluzioni?!?

Falso implica vero

EDIT: WolframAlpha dice che c'è una sola soluzione intera per $x=n^x$ ed è $(1,1)$ ...
Dunque la $x$ del denominatore non si semplifica... E quindi il mio ragionamento fila...

WolframAlpha non fa dimostrazioni..
Dimostrare che $ x=n^x $ ha solo quella soluzione è abbastanza semplice

[Drago96]

Allora perchè con il mio ragionamento mi vengono le stesse soluzioni?!?

Falso implica vero

Perdonami, ma non capisco...

Dimostrare che $ x=n^x $ ha solo quella soluzione è abbastanza semplice

Con $n=x\rightarrow x^1=x^x\rightarrow x=1$ , unica soluzione.
Con $n>x\rightarrow n=x+k$ l'equazione diventa $x=(x+k)^x\rightarrow x=x^x+k^x+a$ (dove con $a$ indico lo sviluppo del binomio di Newton senza gli estremi) e portando tutto a RHS $0=x(x^{x-1}-1)+k^x+a$ che è impossibile in quanto tutti i termini a destra sono positivi.

Invece con $n<x$ ho un po' di problemi...

[exodd]

in logica, la proposizione A=>B, se A è falso e B è vero, è accettabile
Con ciò volevo dire che partendo da un ragionamento sbagliato, si può giungere comunque ad una soluzione vera.

per quanto riguarda $ x=n^x $.. beh.. ricordato che stiamo lavorando con gli interi

[Drago96]

Ci riprovo. Sia $\displaystyle{n:=x^{x\over a}}$ con $\displaystyle{{x\over a}\in \mathbb{N}}$ . Dunque si ha che $\displaystyle{y=n^{2001\over a}}$ , ma dato che $\displaystyle{y=x^{2001\over x}}$ si ha che $\displaystyle{n^{2001\over a}=x^{2001\over x}}$ , ovvero $\displaystyle{n=x^{a\over x}}$ .
Dall'assegnazione iniziale dunque ho che $\displaystyle{{x\over a}={a\over x}\rightarrow x=a\rightarrow {x\over a}=1}$ . Dunque $x$ non è una potenza, dunque non posso semplificare, quindi per forza deve essere $x\mid 2001$
Spero che vada bene...

[xXStephXx]

Ne approfitto per chiederti cosa vuol dire il simbolo :=, l'avrò visto un sacco di volte ma non ho mai capito il suo significato preciso.

[Drago96]

Ne approfitto per chiederti cosa vuol dire il simbolo :=, l'avrò visto un sacco di volte ma non ho mai capito il suo significato preciso.

Forse in questo caso l'ho usato in modo non del tutto corretto... click
Comunque la soluzione può andare?

[fraboz]

Ci riprovo. Sia $ \displaystyle n:=x^{x/a} $ con $ \displaystyle x/a \in \mathbb N $ . Dunque si ha che $ \displaystyle y=n^{2001/a} $

non riesco a capire proprio mi puoi spiegare meglio? comunque se vuoi un consiglio :

Testo nascosto:

ragiona sul gcd

[Drago96]

Ci riprovo. Sia $ \displaystyle n:=x^{x/a} $ con $ \displaystyle x/a \in \mathbb N $ . Dunque si ha che $ \displaystyle y=n^{2001/a} $

non riesco a capire proprio mi puoi spiegare meglio?

Scusa, ho sbagliato...
Era $x=n^{x\over a}$

[fraboz]

dunque falla la seconda parte della tua dimostrazione...