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Si consideri l'equazione:
$ x^{2001}=y^x $
a) Determinare tutte le coppie $ (x;y) $ di soluzioni in cui $ x $ è un numero primo e $ y $ è un intero positivo.
b) Determinare tutte le coppie $ (x;y) $ di soluzioni in cui $ x $ e $ y $ sono interi positivi

Se x è primo, allora deve per forza essere $y=x^n$, dunque l'equazione si trasforma in $nx=2001$ ; scompongo, $2001=3\cdot 23\cdot 29$ . Dunque le coppie sono $(x,y)=(3,3^{667});(23,23^{87});(29,29^{69})$
Per il b, x deve essere un divisore di 2001 e y si adatta di conseguenza... ma ora non ho voglia di fare i conti...

EDIT: le coppie della seconda equazione sono
$(x,y)=(1,1);(3,3^{667});(23,23^{87});(29,29^{69});(69,69^{29});(87,87^{23});(667,667^3);(2001,2001)$

Spero che sia giusta...

Ho controllato sulle soluzioni, e le coppie corrispondono, anche la dim del punto a)...

Per il b) invece io ho avuto un'idea completamente diversa: faccio la radice x-esima.
Dunque ottengo $\displaystyle{y=x^{2001\over x}}$ Dato che se elevo un intero $n$ ad un razionale $z$ ottengo un irrazionale, allora per forza devo avere $\displaystyle{{2001\over x}\in\mathbb{N}}$ che si verifica solo per le $x$ divisori di 2001. Adattando poi la $y$ ottengo le coppie elencate.

Può andare?

Drago96 ha scritto:se elevo un intero $n$ ad un razionale $z$ ottengo un irrazionale

$ 4^{3/2}=8 $

exodd ha scritto:

Drago96 ha scritto:se elevo un intero $n$ ad un razionale $z$ ottengo un irrazionale

$ 4^{3/2}=8 $

Allora perchè con il mio ragionamento mi vengono le stesse soluzioni?!?

Forse perchè 4 è un quadrato, quindi in realtà sarebbe $2^{2^{3/2}}$ ...
Mi sa che da qua ne tiro fuori qualcosa...

EDIT: WolframAlpha dice che c'è una sola soluzione intera per $x=n^x$ ed è $(1,1)$ ...
Dunque la $x$ del denominatore non si semplifica... E quindi il mio ragionamento fila...

Drago96 ha scritto:
Allora perchè con il mio ragionamento mi vengono le stesse soluzioni?!?

Falso implica vero

Drago96 ha scritto: EDIT: WolframAlpha dice che c'è una sola soluzione intera per $x=n^x$ ed è $(1,1)$ ...
Dunque la $x$ del denominatore non si semplifica... E quindi il mio ragionamento fila...

WolframAlpha non fa dimostrazioni..
Dimostrare che $ x=n^x $ ha solo quella soluzione è abbastanza semplice

exodd ha scritto:

Drago96 ha scritto:
Allora perchè con il mio ragionamento mi vengono le stesse soluzioni?!?

Falso implica vero

Perdonami, ma non capisco...

exodd ha scritto:Dimostrare che $ x=n^x $ ha solo quella soluzione è abbastanza semplice

Con $n=x\rightarrow x^1=x^x\rightarrow x=1$ , unica soluzione.
Con $n>x\rightarrow n=x+k$ l'equazione diventa $x=(x+k)^x\rightarrow x=x^x+k^x+a$ (dove con $a$ indico lo sviluppo del binomio di Newton senza gli estremi) e portando tutto a RHS $0=x(x^{x-1}-1)+k^x+a$ che è impossibile in quanto tutti i termini a destra sono positivi.

Invece con $n<x$ ho un po' di problemi...

in logica, la proposizione A=>B, se A è falso e B è vero, è accettabile
Con ciò volevo dire che partendo da un ragionamento sbagliato, si può giungere comunque ad una soluzione vera.

per quanto riguarda $ x=n^x $.. beh.. ricordato che stiamo lavorando con gli interi

Ci riprovo. Sia $\displaystyle{n:=x^{x\over a}}$ con $\displaystyle{{x\over a}\in \mathbb{N}}$ . Dunque si ha che $\displaystyle{y=n^{2001\over a}}$ , ma dato che $\displaystyle{y=x^{2001\over x}}$ si ha che $\displaystyle{n^{2001\over a}=x^{2001\over x}}$ , ovvero $\displaystyle{n=x^{a\over x}}$ .
Dall'assegnazione iniziale dunque ho che $\displaystyle{{x\over a}={a\over x}\rightarrow x=a\rightarrow {x\over a}=1}$ . Dunque $x$ non è una potenza, dunque non posso semplificare, quindi per forza deve essere $x\mid 2001$
Spero che vada bene...

Ne approfitto per chiederti cosa vuol dire il simbolo :=, l'avrò visto un sacco di volte ma non ho mai capito il suo significato preciso.

xXStephXx ha scritto:Ne approfitto per chiederti cosa vuol dire il simbolo :=, l'avrò visto un sacco di volte ma non ho mai capito il suo significato preciso.

Forse in questo caso l'ho usato in modo non del tutto corretto... click
Comunque la soluzione può andare?

Drago96 ha scritto:Ci riprovo. Sia $ \displaystyle n:=x^{x/a} $ con $ \displaystyle x/a \in \mathbb N $ . Dunque si ha che $ \displaystyle y=n^{2001/a} $

non riesco a capire proprio mi puoi spiegare meglio? comunque se vuoi un consiglio :

fraboz ha scritto:

Drago96 ha scritto:Ci riprovo. Sia $ \displaystyle n:=x^{x/a} $ con $ \displaystyle x/a \in \mathbb N $ . Dunque si ha che $ \displaystyle y=n^{2001/a} $

non riesco a capire proprio mi puoi spiegare meglio?

Scusa, ho sbagliato...
Era $x=n^{x\over a}$

dunque falla la seconda parte della tua dimostrazione...